x*x+(5*a+6)*x+4*a*a+6*a

$$6 a + a 4 a + x left(5 a + 6right) + x x < 0$$

Дано неравенство:
$$6 a + a 4 a + x left(5 a + 6right) + x x < 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6 a + a 4 a + x left(5 a + 6right) + x x = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$6 a + a 4 a + x left(5 a + 6right) + x x = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$a 4 a + 5 a x + 6 a + x x + 6 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 5 a + 6$$
$$c = 4 a^{2} + 6 a$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(6 + 5*a)^2 – 4 * (1) * (4*a^2 + 6*a) = (6 + 5*a)^2 – 24*a – 16*a^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{5 a}{2} + frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
$$x_{2} = – frac{5 a}{2} – frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
$$x_{1} = – frac{5 a}{2} + frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
$$x_{2} = – frac{5 a}{2} – frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
$$x_{1} = – frac{5 a}{2} + frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
$$x_{2} = – frac{5 a}{2} – frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
Данные корни
$$x_{1} = – frac{5 a}{2} + frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
$$x_{2} = – frac{5 a}{2} – frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=

___________________________
/ 2 2
/ (6 + 5*a) – 24*a – 16*a 5*a 1
-3 + —————————— – — – —
2 2 10

=
$$- frac{5 a}{2} + frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$6 a + a 4 a + x left(5 a + 6right) + x x < 0$$

/ ___________________________ / ___________________________ / ___________________________
| / 2 2 | | / 2 2 | | / 2 2 |
| / (6 + 5*a) – 24*a – 16*a 5*a 1 | | / (6 + 5*a) – 24*a – 16*a 5*a 1 | | / (6 + 5*a) – 24*a – 16*a 5*a 1 |
|-3 + —————————— – — – –|*|-3 + —————————— – — – –| + (5*a + 6)*|-3 + —————————— – — – –| + 4*a*a + 6*a < 0 2 2 10/ 2 2 10/ 2 2 10/

2
/ ___________________________ / ___________________________
| / 2 2 | | / 2 2 |
| 31 / (6 + 5*a) – 24*a – 16*a 5*a| 2 | 31 / (6 + 5*a) – 24*a – 16*a 5*a| < 0 |- -- + ------------------------------ - ---| + 4*a + 6*a + (6 + 5*a)*|- -- + ------------------------------ - ---| 10 2 2 / 10 2 2 /

Тогда
$$x < - frac{5 a}{2} + frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} - 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} - 3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – frac{5 a}{2} + frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} – 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} – 3 wedge x < - frac{5 a}{2} - frac{1}{2} sqrt{- 16 a^{2} - 24 a + left(5 a + 6right)^{2}} - 3$$

_____
/
——-ο——-ο——-
x1 x2