10*sin(x/10)^(2)-5=0

$$10 sin^{2}{left (frac{x}{10} right )} – 5 = 0$$

Дано уравнение
$$10 sin^{2}{left (frac{x}{10} right )} – 5 = 0$$
преобразуем
$$- 5 cos{left (frac{x}{5} right )} = 0$$
$$10 sin^{2}{left (frac{x}{10} right )} – 5 = 0$$
Сделаем замену
$$w = sin{left (frac{x}{10} right )}$$
Дано уравнение
$$10 sin^{2}{left (frac{x}{10} right )} – 5 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 2 – содержит чётное число 2 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 2-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt{10} sqrt{left(0 w + sin{left (frac{x}{10} right )}right)^{2}} = sqrt{5}$$
$$sqrt{10} sqrt{left(0 w + sin{left (frac{x}{10} right )}right)^{2}} = -1 sqrt{5}$$
или
$$sqrt{10} sin{left (frac{x}{10} right )} = sqrt{5}$$
$$sqrt{10} sin{left (frac{x}{10} right )} = – sqrt{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

sqrt10sinx/10 = sqrt(5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

sqrt10sinx/10 = sqrt5

Данное ур-ние не имеет решений
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

sqrt10sinx/10 = -sqrt(5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

sqrt10sinx/10 = -sqrt5

Данное ур-ние не имеет решений
или

делаем обратную замену
$$sin{left (frac{x}{10} right )} = w$$
Дано уравнение
$$sin{left (frac{x}{10} right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{x}{10} = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$frac{x}{10} = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
Или
$$frac{x}{10} = 2 pi n + {asin}{left (w right )}$$
$$frac{x}{10} = 2 pi n – {asin}{left (w right )} + pi$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$frac{1}{10}$$
подставляем w:

-5*pi
x1 = —–
2

$$x_{1} = – frac{5 pi}{2}$$

5*pi
x2 = —-
2

$$x_{2} = frac{5 pi}{2}$$

15*pi
x3 = —–
2

$$x_{3} = frac{15 pi}{2}$$

25*pi
x4 = —–
2

$$x_{4} = frac{25 pi}{2}$$

x1 = 54.9778714378000

x2 = 102.101761242000

x3 = -777.544181763000

x4 = -149.225651046000

x5 = -86.3937979737000

x6 = -39.2699081699000

x7 = 86.3937979737000

x8 = -7.85398163397000

x9 = 39.2699081699000

x10 = 447.676953137000

x11 = 149.225651046000

x12 = -494.800842940000

x13 = -23.5619449019000

x14 = -54.9778714378000

x15 = 70.6858347058000

x16 = 133.517687778000

x17 = -102.101761242000

x18 = 23.5619449019000

x19 = 7.85398163397000

x20 = -70.6858347058000