(12+x)^3=4096

$$left(x + 12right)^{3} = 4096$$

Дано уравнение
$$left(x + 12right)^{3} = 4096$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{left(x + 12right)^{3}} = sqrt[3]{4096}$$
или
$$x + 12 = 16$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 4$$
Получим ответ: x = 4

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 12$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 4096$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 4096$$
где
$$r = 16$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 16$$
$$z_{2} = -8 – 8 sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -8 + 8 sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x + 12$$
$$x = z – 12$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -20 – 8 sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -20 + 8 sqrt{3} i$$

$$x_{1} = 4$$

___
x2 = -20 – 8*I*/ 3

$$x_{2} = -20 – 8 sqrt{3} i$$

___
x3 = -20 + 8*I*/ 3

$$x_{3} = -20 + 8 sqrt{3} i$$

x1 = 4.00000000000000

x2 = -20.0 + 13.8564064606*i

x3 = -20.0 – 13.8564064606*i