5^(2*x-1)+5^(x+1)=250

$$5^{x + 1} + 5^{2 x – 1} = 250$$

Дано уравнение:
$$5^{x + 1} + 5^{2 x – 1} = 250$$
или
$$5^{x + 1} + 5^{2 x – 1} – 250 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 5^{x}$$
получим
$$frac{v^{2}}{5} + 5^{1} v^{1} – 250 = 0$$
или
$$frac{v^{2}}{5} + 5 v – 250 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = frac{1}{5}$$
$$b = 5$$
$$c = -250$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(5)^2 – 4 * (1/5) * (-250) = 225

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 25$$
$$v_{2} = -50$$
делаем обратную замену
$$5^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (5 right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = frac{log{left (25 right )}}{log{left (5 right )}} = 2$$
$$x_{2} = frac{log{left (-50 right )}}{log{left (5 right )}} = frac{log{left (50 right )} + i pi}{log{left (5 right )}}$$

$$x_{1} = 2$$

log(50) pi*I
x2 = ——- + ——
log(5) log(5)

$$x_{2} = frac{log{left (50 right )}}{log{left (5 right )}} + frac{i pi}{log{left (5 right )}}$$

x1 = 2.00000000000000

x2 = 2.43067655807339 + 1.95198126583117*i