sqrt(2*x+1)-sqrt(5-x)=2

$$- sqrt{- x + 5} + sqrt{2 x + 1} = 2$$

Дано уравнение
$$- sqrt{- x + 5} + sqrt{2 x + 1} = 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$left(- sqrt{- x + 5} + sqrt{2 x + 1}right)^{2} = 4$$
или
$$left(-1right)^{2} left(- x + 5right) + – 2 sqrt{left(- x + 5right) left(2 x + 1right)} + 1^{2} left(2 x + 1right) = 4$$
или
$$x – 2 sqrt{- 2 x^{2} + 9 x + 5} + 6 = 4$$
преобразуем:
$$- 2 sqrt{- 2 x^{2} + 9 x + 5} = – x – 2$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- 8 x^{2} + 36 x + 20 = left(- x – 2right)^{2}$$
$$- 8 x^{2} + 36 x + 20 = x^{2} + 4 x + 4$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 9 x^{2} + 32 x + 16 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -9$$
$$b = 32$$
$$c = 16$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(32)^2 – 4 * (-9) * (16) = 1600

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{4}{9}$$
$$x_{2} = 4$$

Т.к.
$$sqrt{- 2 x^{2} + 9 x + 5} = frac{x}{2} + 1$$
и
$$sqrt{- 2 x^{2} + 9 x + 5} geq 0$$
то
$$frac{x}{2} + 1 geq 0$$
или
$$-2 leq x$$
$$x < infty$$
$$x_{1} = – frac{4}{9}$$
$$x_{2} = 4$$
проверяем:
$$x_{1} = – frac{4}{9}$$
$$- sqrt{- x_{1} + 5} + sqrt{2 x_{1} + 1} – 2 = 0$$
=
$$- sqrt{- frac{-4}{9} + 5} + sqrt{frac{-8}{9} + 1} – 2 = 0$$
=

-4 = 0

– Нет
$$x_{2} = 4$$
$$- sqrt{- x_{2} + 5} + sqrt{2 x_{2} + 1} – 2 = 0$$
=
$$-2 + – sqrt{- 4 + 5} + sqrt{1 + 2 cdot 4} = 0$$
=

0 = 0

– тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{2} = 4$$

$$x_{1} = 4$$

x1 = 4.00000000000000