(x-12)^4-49=0

$$left(x – 12right)^{4} – 49 = 0$$

Дано уравнение
$$left(x – 12right)^{4} – 49 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 – содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[4]{left(x – 12right)^{4}} = sqrt[4]{49}$$
$$sqrt[4]{left(x – 12right)^{4}} = -1 sqrt[4]{49}$$
или
$$x – 12 = sqrt{7}$$
$$x – 12 = – sqrt{7}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-12 + x = sqrt7

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = sqrt{7} + 12$$
Получим ответ: x = 12 + sqrt(7)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-12 + x = -sqrt7

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:

___
x = 12 – / 7

Получим ответ: x = 12 – sqrt(7)
или
$$x_{1} = – sqrt{7} + 12$$
$$x_{2} = sqrt{7} + 12$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x – 12$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 49$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 49$$
где
$$r = sqrt{7}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – sqrt{7}$$
$$z_{2} = sqrt{7}$$
$$z_{3} = – sqrt{7} i$$
$$z_{4} = sqrt{7} i$$
делаем обратную замену
$$z = x – 12$$
$$x = z + 12$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – sqrt{7} + 12$$
$$x_{2} = sqrt{7} + 12$$
$$x_{3} = 12 – sqrt{7} i$$
$$x_{4} = 12 + sqrt{7} i$$

$$x_{1} = – sqrt{7} + 12$$

___
x2 = 12 + / 7

$$x_{2} = sqrt{7} + 12$$

___
x3 = 12 – I*/ 7

$$x_{3} = 12 – sqrt{7} i$$

___
x4 = 12 + I*/ 7

$$x_{4} = 12 + sqrt{7} i$$

x1 = 9.35424868894000

x2 = 12.0 – 2.64575131106*i

x3 = 14.6457513111000

x4 = 12.0 + 2.64575131106*i