(x+2)^4+x^4=82

$$x^{4} + left(x + 2right)^{4} = 82$$

Дано уравнение:
$$x^{4} + left(x + 2right)^{4} = 82$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$2 left(x – 1right) left(x + 3right) left(x^{2} + 2 x + 11right) = 0$$
Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
Получим ур-ния
$$2 x – 2 = 0$$
$$x + 3 = 0$$
$$x^{2} + 2 x + 11 = 0$$
решаем получившиеся ур-ния:
1.
$$2 x – 2 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$2 x = 2$$
Разделим обе части ур-ния на 2

x = 2 / (2)

Получим ответ: x1 = 1
2.
$$x + 3 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -3$$
Получим ответ: x2 = -3
3.
$$x^{2} + 2 x + 11 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{4} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = 11$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(2)^2 – 4 * (1) * (11) = -40

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{3} = -1 + sqrt{10} i$$
$$x_{4} = -1 – sqrt{10} i$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -1 + sqrt{10} i$$
$$x_{4} = -1 – sqrt{10} i$$

$$x_{1} = -3$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

____
x3 = -1 – I*/ 10

$$x_{3} = -1 – sqrt{10} i$$

____
x4 = -1 + I*/ 10

$$x_{4} = -1 + sqrt{10} i$$

x1 = -3.00000000000000

x2 = -1.0 + 3.16227766017*i

x3 = 1.00000000000000

x4 = -1.0 – 3.16227766017*i