sqrt(2)*sin(pi*1/4+x*1/2)>=1

$$sqrt{2} sin{left (frac{x}{2} + frac{pi}{4} right )} geq 1$$

Дано неравенство:
$$sqrt{2} sin{left (frac{x}{2} + frac{pi}{4} right )} geq 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$sqrt{2} sin{left (frac{x}{2} + frac{pi}{4} right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$sqrt{2} sin{left (frac{x}{2} + frac{pi}{4} right )} = 1$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на sqrt(2)

Ур-ние превратится в
$$sin{left (frac{x}{2} + frac{pi}{4} right )} = frac{sqrt{2}}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$frac{x}{2} + frac{pi}{4} = 2 pi n + {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$frac{x}{2} + frac{pi}{4} = 2 pi n – {asin}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )} + pi$$
Или
$$frac{x}{2} + frac{pi}{4} = 2 pi n + frac{pi}{4}$$
$$frac{x}{2} + frac{pi}{4} = 2 pi n + frac{3 pi}{4}$$
, где n – любое целое число
Перенесём
$$frac{pi}{4}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$frac{x}{2} = 2 pi n$$
$$frac{x}{2} = 2 pi n + frac{pi}{2}$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 pi n$$
$$x_{2} = 4 pi n + pi$$
$$x_{1} = 4 pi n$$
$$x_{2} = 4 pi n + pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 4 pi n$$
$$x_{2} = 4 pi n + pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$4 pi n + – frac{1}{10}$$
=
$$4 pi n – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$sqrt{2} sin{left (frac{x}{2} + frac{pi}{4} right )} geq 1$$
$$sqrt{2} sin{left (frac{1}{2} left(4 pi n + – frac{1}{10}right) + frac{pi}{4} right )} geq 1$$

___ / 1 pi
/ 2 *sin|- — + — + 2*pi*n| >= 1
20 4 /

но

___ / 1 pi
/ 2 *sin|- — + — + 2*pi*n| < 1 20 4 /

Тогда
$$x leq 4 pi n$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x geq 4 pi n wedge x leq 4 pi n + pi$$

_____
/
——-•——-•——-
x1 x2

$$0 leq x wedge x leq pi$$

[0, pi]

$$x in left[0, piright]$$