x^2-y^2=32

$$x^{2} – y^{2} = 32$$

Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} – y^{2} = 32$$
в
$$x^{2} – y^{2} – 32 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = – y^{2} – 32$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-32 – y^2) = 128 + 4*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{4 y^{2} + 128}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{4 y^{2} + 128}$$

$$x_{1} = – i sqrt[4]{left(left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32right)^{2} + 4 left(Re{y}right)^{2} left(Im{y}right)^{2}} sin{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (2 Re{y} Im{y},left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32 right )} right )} – sqrt[4]{left(left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32right)^{2} + 4 left(Re{y}right)^{2} left(Im{y}right)^{2}} cos{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (2 Re{y} Im{y},left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32 right )} right )}$$

___________________________________________ ___________________________________________
/ 2 / / 2 2 / 2 / / 2 2
4 / / 2 2 2 2 |atan22*im(y)*re(y), 32 + re (y) – im (y)/| 4 / / 2 2 2 2 |atan22*im(y)*re(y), 32 + re (y) – im (y)/|
x2 = / 32 + re (y) – im (y)/ + 4*im (y)*re (y) *cos|——————————————| + I*/ 32 + re (y) – im (y)/ + 4*im (y)*re (y) *sin|——————————————|
2 / 2 /

$$x_{2} = i sqrt[4]{left(left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32right)^{2} + 4 left(Re{y}right)^{2} left(Im{y}right)^{2}} sin{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (2 Re{y} Im{y},left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32 right )} right )} + sqrt[4]{left(left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32right)^{2} + 4 left(Re{y}right)^{2} left(Im{y}right)^{2}} cos{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (2 Re{y} Im{y},left(Re{y}right)^{2} – left(Im{y}right)^{2} + 32 right )} right )}$$