x^3-12*x-11=0

$$x^{3} – 12 x – 11 = 0$$

Дано уравнение:
$$x^{3} – 12 x – 11 = 0$$
преобразуем
$$- 12 x + x^{3} + 1 – 12 = 0$$
или
$$- 12 x + x^{3} – -1 – 12 = 0$$
$$- 12 left(x + 1right) + x^{3} – -1 = 0$$
$$left(x + 1right) left(x^{2} – x + left(-1right)^{2}right) – 12 left(x + 1right) = 0$$
Вынесем общий множитель 1 + x за скобки
получим:
$$left(x + 1right) left(x^{2} – x + left(-1right)^{2} – 12right) = 0$$
или
$$left(x + 1right) left(x^{2} – x – 11right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = -1$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} – x – 11 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{3} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -11$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-1)^2 – 4 * (1) * (-11) = 45

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{3 sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = – frac{3 sqrt{5}}{2} + frac{1}{2}$$
Получаем окончательный ответ для x^3 – 12*x – 11 = 0:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{3 sqrt{5}}{2}$$
$$x_{3} = – frac{3 sqrt{5}}{2} + frac{1}{2}$$

$$x_{1} = -1$$

___
1 3*/ 5
x2 = – + ——-
2 2

$$x_{2} = frac{1}{2} + frac{3 sqrt{5}}{2}$$

___
1 3*/ 5
x3 = – – ——-
2 2

$$x_{3} = – frac{3 sqrt{5}}{2} + frac{1}{2}$$

x1 = -2.85410196625000

x2 = 3.85410196625000

x3 = -1.00000000000000