x^3-64=0

$$x^{3} – 64 = 0$$

Дано уравнение
$$x^{3} – 64 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{x^{3}} = sqrt[3]{64}$$
или
$$x = 4$$
Получим ответ: x = 4

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 64$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 64$$
где
$$r = 4$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 4$$
$$z_{2} = -2 – 2 sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -2 + 2 sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2 – 2 sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -2 + 2 sqrt{3} i$$

$$x_{1} = 4$$

___
x2 = -2 – 2*I*/ 3

$$x_{2} = -2 – 2 sqrt{3} i$$

___
x3 = -2 + 2*I*/ 3

$$x_{3} = -2 + 2 sqrt{3} i$$

x1 = -2.0 + 3.46410161514*i

x2 = 4.00000000000000

x3 = -2.0 – 3.46410161514*i