x^3-64=0

Дано

$$x^{3} — 64 = 0$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} — 64 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 — не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{64}$$
или
$$x = 4$$
Получим ответ: x = 4

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 64$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 64$$
где
$$r = 4$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
значит
$$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
и
$$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 4$$
$$z_{2} = -2 — 2 \sqrt{3} i$$
$$z_{3} = -2 + 2 \sqrt{3} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Читайте также  (50*b+9)*(50*b-9)-(50*b+9)^2 если b=4 (упростите выражение)

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2 — 2 \sqrt{3} i$$
$$x_{3} = -2 + 2 \sqrt{3} i$$

Ответ
$$x_{1} = 4$$

___
x2 = -2 — 2*I*/ 3

$$x_{2} = -2 — 2 \sqrt{3} i$$

___
x3 = -2 + 2*I*/ 3

$$x_{3} = -2 + 2 \sqrt{3} i$$
Численный ответ

x1 = -2.0 + 3.46410161514*i

x2 = 4.00000000000000

x3 = -2.0 — 3.46410161514*i

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...