x^3-9=0

$$x^{3} – 9 = 0$$

Дано уравнение
$$x^{3} – 9 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{x^{3}} = sqrt[3]{9}$$
или
$$x = 3^{frac{2}{3}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 3^2/3

Получим ответ: x = 3^(2/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 9$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 9$$
где
$$r = 3^{frac{2}{3}}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3^{frac{2}{3}}$$
$$z_{2} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} – frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$
$$z_{3} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} + frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3^{frac{2}{3}}$$
$$x_{2} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} – frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$
$$x_{3} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} + frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$

$$x_{1} = 3^{frac{2}{3}}$$

2/3 6 ___
3 3*I*/ 3
x2 = – —- – ———
2 2

$$x_{2} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} – frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$

2/3 6 ___
3 3*I*/ 3
x3 = – —- + ———
2 2

$$x_{3} = – frac{3^{frac{2}{3}}}{2} + frac{3 i}{2} sqrt[6]{3}$$

x1 = 2.08008382305000

x2 = -1.04004191153 + 1.80140543276*i

x3 = -1.04004191153 – 1.80140543276*i