x^3=5

$$x^{3} = 5$$

Дано уравнение
$$x^{3} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{x^{3}} = sqrt[3]{5}$$
или
$$x = sqrt[3]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/3

Получим ответ: x = 5^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 5$$
где
$$r = sqrt[3]{5}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = sqrt[3]{5}$$
$$z_{2} = – frac{sqrt[3]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{5}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt[3]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{5}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = sqrt[3]{5}$$
$$x_{2} = – frac{sqrt[3]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{5}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt[3]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{5}$$

$$x_{1} = sqrt[3]{5}$$

3 ___ ___ 3 ___
/ 5 I*/ 3 */ 5
x2 = – —– – ————-
2 2

$$x_{2} = – frac{sqrt[3]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{5}$$

3 ___ ___ 3 ___
/ 5 I*/ 3 */ 5
x3 = – —– + ————-
2 2

$$x_{3} = – frac{sqrt[3]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[3]{5}$$

x1 = -0.854987973338 + 1.48088260968*i

x2 = -0.854987973338 – 1.48088260968*i

x3 = 1.70997594668000