Дано

$$- 120 i y + 50 x + 30 i x = – frac{141421}{1000}$$

30*I*z + 120*I*y = 0

$$120 i y + 30 i z = 0$$

x = y + z

$$x = y + z$$
Ответ
$$x_{1} = – frac{141421}{148000} + frac{989947 i}{740000}$$
=
$$- frac{141421}{148000} + frac{989947 i}{740000}$$
=

-0.955547297297297 + 1.33776621621622*i

$$z_{1} = – frac{141421}{111000} + frac{989947 i}{555000}$$
=
$$- frac{141421}{111000} + frac{989947 i}{555000}$$
=

-1.27406306306306 + 1.78368828828829*i

$$y_{1} = frac{141421}{444000} – frac{989947 i}{2220000}$$
=
$$frac{141421}{444000} – frac{989947 i}{2220000}$$
=

0.318515765765766 – 0.445922072072072*i

Метод Крамера
$$- 120 i y + 50 x + 30 i x = – frac{141421}{1000}$$
$$120 i y + 30 i z = 0$$
$$x = y + z$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$50 x + 30 i x – 120 i y + frac{141421}{1000} = 0$$
$$120 i y + 30 i z = 0$$
$$x – y – z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{3} + x_{1} left(50 + 30 iright) + – 120 i x_{2}30 i x_{3} + 0 x_{1} + 120 i x_{2} – x_{3} + x_{1} – x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{141421}{1000}end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & 120 i & 30 i1 & -1 & -1end{matrix}right] right )} = 6300 – 4500 i$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{6300 – 4500 i} {det}{left (left[begin{matrix}- frac{141421}{1000} & – 120 i & 0 & 120 i & 30 i & -1 & -1end{matrix}right] right )} = frac{1}{50 + 30 i} left(- frac{141421}{1000} – frac{424263 i}{100 left(- frac{3}{4} – frac{30 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}right)$$
=
$$- frac{141421}{148000} + frac{989947 i}{740000}$$
$$x_{2} = frac{1}{6300 – 4500 i} {det}{left (left[begin{matrix}50 + 30 i & – frac{141421}{1000} & 0 & 0 & 30 i1 & 0 & -1end{matrix}right] right )} = – frac{141421}{4000 left(- frac{3}{4} – frac{30 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}$$
=
$$frac{141421}{444000} – frac{989947 i}{2220000}$$
$$x_{3} = frac{1}{6300 – 4500 i} {det}{left (left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & – frac{141421}{1000} & 120 i & 01 & -1 & 0end{matrix}right] right )} = frac{141421}{1000 left(- frac{3}{4} – frac{30 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}$$
=
$$- frac{141421}{111000} + frac{989947 i}{555000}$$

Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$- 120 i y + 50 x + 30 i x = – frac{141421}{1000}$$
$$120 i y + 30 i z = 0$$
$$x = y + z$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$50 x + 30 i x – 120 i y + frac{141421}{1000} = 0$$
$$120 i y + 30 i z = 0$$
$$x – y – z = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000} & 120 i & 30 i & 01 & -1 & -1 & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}50 + 30 i1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- 1 + 1 & -1 – – frac{120 i}{50 + 30 i} & -1 – 0 & – frac{-141421}{50000 + 30000 i}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 + frac{120 i}{50 + 30 i} & -1 & frac{141421}{50000 + 30000 i}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000} & 120 i & 30 i & 0 & -1 + frac{120 i}{50 + 30 i} & -1 & frac{141421}{50000 + 30000 i}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}- 120 i120 i -1 + frac{120 i}{50 + 30 i}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- -50 – 30 i & – 120 i + 120 i & 30 i & – frac{141421}{1000}end{matrix}right] = left[begin{matrix}50 + 30 i & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000}50 + 30 i & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000} & -1 + frac{120 i}{50 + 30 i} & -1 & frac{141421}{50000 + 30000 i}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & – -1 + frac{120 i}{50 + 30 i} + -1 + frac{120 i}{50 + 30 i} & -1 – 0 & frac{141421}{50000 + 30000 i} – – frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right)end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & 0 & -1 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right)end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000}50 + 30 i & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000} – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & 0 & -1 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right)end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}030 i -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & – 0 & -1 – -1 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) – – frac{141421 i}{30000}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & 0 & 0 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}50 + 30 i & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000}50 + 30 i & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000} – frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & 0 & 0 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}50 + 30 i50 + 30 i – frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & 0 & 0 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- 50 + 30 i + 50 + 30 i & – 0 – 120 i & – 0 & – frac{141421}{1000} – frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000} – frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000} – frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}50 + 30 i & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000} – frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & 0 & 0 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- 50 + 30 i + 50 + 30 i & – 0 & – 0 + 30 i & – frac{141421}{1000} – frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000} – frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & – 120 i & 0 & – frac{141421}{1000} – frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{
30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)} & 0 & 30 i & – frac{141421}{1000} – frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)} – frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright) & 0 & 0 & frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 120 i x_{2} + frac{141421}{1000} + frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)} = 0$$
$$30 i x_{3} + frac{141421}{1000} + frac{left(50 + 30 iright) left(frac{141421}{50000 + 30000 i} + frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) + frac{141421 i}{30000}right)}{- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)} = 0$$
$$x_{1} left(- frac{i}{30} left(50 + 30 iright) – frac{i}{120} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) left(50 + 30 iright)right) – frac{141421 i}{30000} – frac{141421 i}{120000} left(-1 + frac{120 i}{50 + 30 i}right) – frac{141421}{50000 + 30000 i} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = frac{141421}{444000} – frac{989947 i}{2220000}$$
$$x_{3} = – frac{141421}{111000} + frac{989947 i}{555000}$$
$$x_{1} = – frac{141421}{148000} + frac{989947 i}{740000}$$

Численный ответ

x1 = -0.9555472972972972 + 1.337766216216216*i
y1 = 0.3185157657657657 – 0.445922072072072*i
z1 = -1.274063063063063 + 1.783688288288288*i

   
4.02
Atkarsk2402
Оказываю помощь студентам в написании контрольных, курсовых, рефератов с 2003 года. Опыт огромный.