x^3=7056

$$x^{3} = 7056$$

Дано уравнение
$$x^{3} = 7056$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{x^{3}} = sqrt[3]{7056}$$
или
$$x = 2 sqrt[3]{882}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2*882^1/3

Получим ответ: x = 2*882^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = 7056$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 7056$$
где
$$r = 2 sqrt[3]{882}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2 sqrt[3]{882}$$
$$z_{2} = – sqrt[3]{882} – 3 sqrt[6]{3} sqrt[3]{98} i$$
$$z_{3} = – sqrt[3]{882} + sqrt[3]{294} cdot 3^{frac{5}{6}} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2 sqrt[3]{882}$$
$$x_{2} = – sqrt[3]{882} – 3 sqrt[6]{3} sqrt[3]{98} i$$
$$x_{3} = – sqrt[3]{882} + sqrt[3]{294} cdot 3^{frac{5}{6}} i$$

$$x_{1} = 2 sqrt[3]{882}$$

3 _____ 6 ___ 3 ____
x2 = – / 882 – 3*I*/ 3 */ 98

$$x_{2} = – sqrt[3]{882} – 3 sqrt[6]{3} sqrt[3]{98} i$$

3 _____ 6 ___ 3 ____
x3 = – / 882 + 3*I*/ 3 */ 98

$$x_{3} = – sqrt[3]{882} + 3 sqrt[6]{3} sqrt[3]{98} i$$

x1 = -9.59009394832 + 16.6105299679*i

x2 = 19.1801878966000

x3 = -9.59009394832 – 16.6105299679*i