4*sin(x)*cos(x)-1>2*sin(x)-2*cos(x)

$$4 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 1 > 2 sin{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}$$

Дано неравенство:
$$4 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 1 > 2 sin{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 1 = 2 sin{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}$$
Решаем:
$$x_{1} = – frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{6}$$
$$x_{3} = frac{pi}{3}$$
$$x_{4} = – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
$$x_{1} = – frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{6}$$
$$x_{3} = frac{pi}{3}$$
$$x_{4} = – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
Данные корни
$$x_{4} = – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
$$x_{1} = – frac{pi}{3}$$
$$x_{2} = – frac{pi}{6}$$
$$x_{3} = frac{pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{4}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} – frac{1}{10}$$
=

/ ___ 1
– 2*atan2 + / 3 / – —
10

=
$$- 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )} – frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$4 sin{left (x right )} cos{left (x right )} – 1 > 2 sin{left (x right )} – 2 cos{left (x right )}$$

/ / ___ 1 / / ___ 1 / / ___ 1 / / ___ 1
4*sin|- 2*atan2 + / 3 / – –|*cos|- 2*atan2 + / 3 / – –| – 1 > 2*sin|- 2*atan2 + / 3 / – –| – 2*cos|- 2*atan2 + / 3 / – –|
10/ 10/ 10/ 10/

/1 / ___ /1 / ___ /1 / ___ /1 / ___
-1 – 4*cos|– + 2*atan2 + / 3 /|*sin|– + 2*atan2 + / 3 /| > – 2*cos|– + 2*atan2 + / 3 /| – 2*sin|– + 2*atan2 + / 3 /|
10 / 10 / 10 / 10 /

Тогда
$$x < - 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )} wedge x < - frac{pi}{3}$$

_____ _____
/ /
——-ο——-ο——-ο——-ο——-
x4 x1 x2 x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > – 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )} wedge x < - frac{pi}{3}$$
$$x > – frac{pi}{6} wedge x < frac{pi}{3}$$

/ /-pi pi / -pi / ___
Or|And|—- < x, x < --|, And|x < ----, -2*atan2 + / 3 / < x|| 6 3 / 3 //

$$left(- frac{pi}{6} < x wedge x < frac{pi}{3}right) vee left(x < - frac{pi}{3} wedge - 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )} < xright)$$

/ ___ -pi -pi pi
(-2*atan2 + / 3 /, —-) U (—-, –)
3 6 3

$$x in left(- 2 {atan}{left (sqrt{3} + 2 right )}, – frac{pi}{3}right) cup left(- frac{pi}{6}, frac{pi}{3}right)$$