На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$x^{4} = -24$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -24 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -24$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -24$$
где
$$r = sqrt[4]{24}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2} + frac{pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – sqrt[4]{6} – sqrt[4]{6} i$$
$$z_{2} = – sqrt[4]{6} + sqrt[4]{6} i$$
$$z_{3} = sqrt[4]{6} – sqrt[4]{6} i$$
$$z_{4} = sqrt[4]{6} + sqrt[4]{6} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – sqrt[4]{6} – sqrt[4]{6} i$$
$$x_{2} = – sqrt[4]{6} + sqrt[4]{6} i$$
$$x_{3} = sqrt[4]{6} – sqrt[4]{6} i$$
$$x_{4} = sqrt[4]{6} + sqrt[4]{6} i$$
Данное ур-ние не имеет решений
x1 = 1.56508458007 + 1.56508458007*i
x2 = -1.56508458007 – 1.56508458007*i
x3 = 1.56508458007 – 1.56508458007*i
x4 = -1.56508458007 + 1.56508458007*i
