x^4=-24

Дано

$$x^{4} = -24$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} = -24$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -24 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = -24$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -24$$
где
$$r = \sqrt[4]{24}$$
— модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left (4 p \right )} + \cos{\left (4 p \right )} = -1$$
значит
$$\cos{\left (4 p \right )} = -1$$
и
$$\sin{\left (4 p \right )} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = — \sqrt[4]{6} — \sqrt[4]{6} i$$
$$z_{2} = — \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$
$$z_{3} = \sqrt[4]{6} — \sqrt[4]{6} i$$
$$z_{4} = \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Читайте также  (2*x-7)+(6*x+1)=18

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = — \sqrt[4]{6} — \sqrt[4]{6} i$$
$$x_{2} = — \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$
$$x_{3} = \sqrt[4]{6} — \sqrt[4]{6} i$$
$$x_{4} = \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6} i$$

Ответ

Данное ур-ние не имеет решений

Численный ответ

x1 = 1.56508458007 + 1.56508458007*i

x2 = -1.56508458007 — 1.56508458007*i

x3 = 1.56508458007 — 1.56508458007*i

x4 = -1.56508458007 + 1.56508458007*i

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...