x^(5/2)=(28/5)

$$x^{frac{5}{2}} = frac{28}{5}$$

Дано уравнение
$$x^{frac{5}{2}} = frac{28}{5}$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5/2 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Возведём обе части ур-ния в(о) 2/5-ую степень:
Получим:
$$left(x^{frac{5}{2}}right)^{frac{2}{5}} = left(frac{28}{5}right)^{frac{2}{5}}$$
или
$$x = frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^3/5*28^2/5/5

Получим ответ: x = 5^(3/5)*28^(2/5)/5

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{frac{5}{2}} = frac{28}{5}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$left(r e^{i p}right)^{frac{5}{2}} = frac{28}{5}$$
где
$$r = frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{frac{5 i}{2} p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (frac{5 p}{2} right )} + cos{left (frac{5 p}{2} right )} = 1$$
значит
$$cos{left (frac{5 p}{2} right )} = 1$$
и
$$sin{left (frac{5 p}{2} right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{4 pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}}$$
$$z_{2} = left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$
$$z_{3} = left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$
$$z_{4} = left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$
$$z_{5} = left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}}$$
$$x_{2} = left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$
$$x_{3} = left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$
$$x_{4} = left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$
$$x_{5} = left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{4}{5}} i}{5} sqrt[5]{28} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}right)^{2}$$

$$x_{1} = frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}}$$

___________
/ ___ / ___ / 3/10 5 ____ 4/5 5 ____
2 3/5 2/5 |5 / 5 | 4/5 5 ____ / 5 / 5 | 5 */ 28 5 */ 28 |
/ 3/10 5 ____ 4/5 5 ____ 5 *28 *|- – —–| 2*I*5 */ 28 * / – – —– *|- ———— – ———–|
| 5 */ 28 5 */ 28 | 8 8 / / 8 8 4 20 /
x2 = |- ———— – ———–| – ———————- – —————————————————————
4 20 / 5 5

$$x_{2} = – frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}} left(- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}right) + left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28}right)^{2} – frac{2 i}{5} sqrt[5]{28} cdot 5^{frac{4}{5}} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28}right)$$

___________
/ ___ / ___ / 3/10 5 ____ 4/5 5 ____
2 3/5 2/5 |5 / 5 | 4/5 5 ____ / 5 / 5 | 5 */ 28 5 */ 28 |
/ 3/10 5 ____ 4/5 5 ____ 5 *28 *|- – —–| 2*I*5 */ 28 * / – – —– *|- ———— – ———–|
| 5 */ 28 5 */ 28 | 8 8 / / 8 8 4 20 /
x3 = |- ———— – ———–| – ———————- + —————————————————————
4 20 / 5 5

$$x_{3} = – frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}} left(- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}right) + left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28}right)^{2} + frac{2 i}{5} sqrt[5]{28} cdot 5^{frac{4}{5}} sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} left(- frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28} – frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28}right)$$

___________
/ ___ / ___ / 4/5 5 ____ 3/10 5 ____
2 3/5 2/5 |5 / 5 | 4/5 5 ____ / 5 / 5 | 5 */ 28 5 */ 28 |
/ 4/5 5 ____ 3/10 5 ____ 5 *28 *|- + —–| 2*I*5 */ 28 * / – + —– *|- ———– + ————|
| 5 */ 28 5 */ 28 | 8 8 / / 8 8 20 4 /
x4 = |- ———– + ————| – ———————- – —————————————————————
20 4 / 5 5

$$x_{4} = – frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}} left(frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}right) + left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28}right)^{2} – frac{2 i}{5} sqrt[5]{28} cdot 5^{frac{4}{5}} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28}right)$$

___________
/ ___ / ___ / 4/5 5 ____ 3/10 5 ____
2 3/5 2/5 |5 / 5 | 4/5 5 ____ / 5 / 5 | 5 */ 28 5 */ 28 |
/ 4/5 5 ____ 3/10 5 ____ 5 *28 *|- + —–| 2*I*5 */ 28 * / – + —– *|- ———– + ————|
| 5 */ 28 5 */ 28 | 8 8 / / 8 8 20 4 /
x5 = |- ———– + ————| – ———————- + —————————————————————
20 4 / 5 5

$$x_{5} = – frac{5^{frac{3}{5}}}{5} 28^{frac{2}{5}} left(frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}right) + left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28}right)^{2} + frac{2 i}{5} sqrt[5]{28} cdot 5^{frac{4}{5}} sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}} left(- frac{5^{frac{4}{5}}}{20} sqrt[5]{28} + frac{5^{frac{3}{10}}}{4} sqrt[5]{28}right)$$

x1 = 1.99193522108191

x2 = 0.615541835008328 + 1.89444297204778*i

x3 = 0.615541835008328 – 1.89444297204778*i

x4 = -1.61150944554928 – 1.17083014647389*i

x5 = -1.61150944554928 + 1.17083014647389*i