x^6-1=0

$$x^{6} – 1 = 0$$

Дано уравнение
$$x^{6} – 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 – содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[6]{x^{6}} = sqrt[6]{1}$$
$$sqrt[6]{x^{6}} = -1 sqrt[6]{1}$$
или
$$x = 1$$
$$x = -1$$
Получим ответ: x = 1
Получим ответ: x = -1
или
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (6 p right )} + cos{left (6 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (6 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (6 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = 1$$
$$z_{3} = – frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{4} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{5} = frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{6} = frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = – frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{5} = frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{6} = frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$

$$x_{1} = -1$$

x2 = 1

$$x_{2} = 1$$

___
1 I*/ 3
x3 = – – – ——-
2 2

$$x_{3} = – frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$

___
1 I*/ 3
x4 = – – + ——-
2 2

$$x_{4} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$

___
1 I*/ 3
x5 = – – ——-
2 2

$$x_{5} = frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$

___
1 I*/ 3
x6 = – + ——-
2 2

$$x_{6} = frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$

x1 = 0.5 – 0.866025403784*i

x2 = -0.5 + 0.866025403784*i

x3 = -0.5 – 0.866025403784*i

x4 = 1.00000000000000

x5 = 0.5 + 0.866025403784*i

x6 = -1.00000000000000