z^3-27=0

$$z^{3} – 27 = 0$$

Дано уравнение
$$z^{3} – 27 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{z^{3}} = sqrt[3]{27}$$
или
$$z = 3$$
Получим ответ: z = 3

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = 27$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 27$$
где
$$r = 3$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 3$$
$$w_{2} = – frac{3}{2} – frac{3 i}{2} sqrt{3}$$
$$w_{3} = – frac{3}{2} + frac{3 i}{2} sqrt{3}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = – frac{3}{2} – frac{3 i}{2} sqrt{3}$$
$$z_{3} = – frac{3}{2} + frac{3 i}{2} sqrt{3}$$

$$z_{1} = 3$$

___
3 3*I*/ 3
z2 = – – – ———
2 2

$$z_{2} = – frac{3}{2} – frac{3 i}{2} sqrt{3}$$

___
3 3*I*/ 3
z3 = – – + ———
2 2

$$z_{3} = – frac{3}{2} + frac{3 i}{2} sqrt{3}$$

z1 = -1.5 + 2.59807621135*i

z2 = 3.00000000000000

z3 = -1.5 – 2.59807621135*i