z^3=sqrt(3)-i

$$z^{3} = sqrt{3} – i$$

Дано уравнение
$$z^{3} = sqrt{3} – i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{z^{3}} = sqrt[3]{sqrt{3} – i}$$
или
$$z = sqrt[3]{sqrt{3} – i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = sqrt+3 – i)^1/3

Получим ответ: z = (sqrt(3) – i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = sqrt{3} – i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = sqrt{3} – i$$
где
$$r = sqrt[3]{2}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = frac{sqrt{3}}{2} – frac{i}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = frac{sqrt{3}}{2} – frac{i}{2}$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = frac{sqrt{3}}{2}$$
и
$$sin{left (3 p right )} = – frac{1}{2}$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N – frac{pi}{18}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = sqrt[3]{2} cos{left (frac{pi}{18} right )} – sqrt[3]{2} i sin{left (frac{pi}{18} right )}$$
$$w_{2} = – frac{sqrt[3]{2}}{2} cos{left (frac{pi}{18} right )} – frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )} – frac{sqrt[3]{2} i}{2} sqrt{3} cos{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} i}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )}$$
$$w_{3} = – frac{sqrt[3]{2}}{2} cos{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} i}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} i}{2} sqrt{3} cos{left (frac{pi}{18} right )}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = sqrt[3]{2} cos{left (frac{pi}{18} right )} – sqrt[3]{2} i sin{left (frac{pi}{18} right )}$$
$$z_{2} = – frac{sqrt[3]{2}}{2} cos{left (frac{pi}{18} right )} – frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )} – frac{sqrt[3]{2} i}{2} sqrt{3} cos{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} i}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt[3]{2}}{2} cos{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} i}{2} sin{left (frac{pi}{18} right )} + frac{sqrt[3]{2} i}{2} sqrt{3} cos{left (frac{pi}{18} right )}$$

Данное ур-ние не имеет решений

z1 = -0.809861640056 – 0.965155519041*i

z2 = 1.24078001812 – 0.218782994318*i

z3 = -0.430918378064 + 1.18393851336*i