Для заданных схем балок требуется Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Рассмотрим задачу подбора сечения балки, изготовленной из хрупкого материала. Балка изготавливается из чугуна и имеет сечение, показанное на рис. 21.

Рисунок 21 – Форма сечения чугунной балки к задаче № 5

Рисунок 18 – Расчетная схема балки
1. Определение опорных реакций
На схеме показываем опорные реакции R1 , R2 . Вертикальные реакции направляем вверх и записываем уравнения равновесия:
Х=0;Н=0;
МA=0;2m1+qa2a–P1a–R2a=0;
ОтсюдаR2=(2m1+qa2a–P1a)/3a=(+102–352)/2=0

МD=0;–R1a+2m1–qaa+P1a=0;
ОтсюдаR1=(2m1–qaa+P1a)/3a=(30–10+351)/3=15 кН

Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия:
Y=0;–R1+P1+R2–qa=0
–15+35+0–10=0
0=0
Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

2. Построение эпюры Q

Участок AB, 0 < x < a.
Q(x)= –R1= –15 кН.

Поперечная сила не зависит от переменной x на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс.
Участок BC, a < x < 2a. Алгебраическая сумма проекций всех сил на ось y слева от сечения с абсциссой x
Q(x)= –R1–q1(x–a).

Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения найдем значения поперечной силы на границах участков балки
x=a=1м, Q(a)=Q(1)= –15–100= –15 кН
x=2a=2м, Q(2a)=Q(2)= –15–101= –25 кН

Участок CD, 2a < x < 3a. Поперечная сила на расстоянии x от начала координат
Q(x)= –R1+Р1–qx–a).
Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения найдем значения поперечной силы на границах участков балки
x=a=2м, Q(2a)=Q(2)= –15–10= –25 кН
x=3a=3м, Q(3a)=Q(3)= –15–10= 0
3. Построение эпюры Mz

Участок AB:
Mz(x)= –R1x
x=0, Mz(0)=0
x=a=1 м, Mz(a)= –151= –15 кНм.

Участок BC:
В пределах второго участка балки (a < x < 2a) изгибающий момент линейно зависит от абсциссы x, и эпюра ограничена прямой линией.

Mz(x)= –R1x–а)+2m1–q1(х–а)2/2
Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре Mz не будет.
x=а=1м, Mz(1)= –151+30–1002/2= –15 кНм.
x=2a=2 м, Mz(2)= –15–10= –5 кНм.

Участок CD:
Mz(x)= –R1x–2a)+2m1–q1(х–2а)2/2+P1(x–2a)
Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке CD не изменяет знак, экстремума на эпюре Mz не будет.
Определим изгибающий момент на границах участка:
x=2а=2м, Mz(2)= –15–10= –5 кНм.
x=3a=3 м, Mz(3)= –15–10=0.
Эпюры Q и Mz показаны на рис.19.

Рисунок 19 – Расчетная схема балки.
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Требуется определить из расчета на прочность по допускаемым напряжениям размеры поперечного сечения, если материал балки – чугун с допускаемым напряжением на сжатие [σ]сж=500 МПа и на растяжение [σ]р=100 МПа.
Опасное сечение находится в сечении В и расчетный изгибающий момент
Mzmax=15 кНм.

Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти из условия прочности балки осевой момент сопротивления относительно его нейтральной оси.
Заданное сечение (рис. 21) имеет ось симметрии, и для определения положения его центра тяжести достаточно вычислить только одну его координату – ординату ус.
Разобьем заданную фигуру на три простые части: прямоугольник (1) и два треугольника (2 и 3). В качестве исходных осей принимаем главные центральные оси прямоугольника y1 , z1 . Тогда ордината центра тяжести всей фигуры определится по формуле

Определив положение центра тяжести, проводим главные центральные оси Y, Z составной фигуры.

Рисунок 21 – Поперечное сечение чугунной балки

Вычисляем момент инерции заданного сечения относительно главной центральной оси Z
JZ=JZ1+2JZ2=
а1=0
a2=t+t/3=1.33t
JZ=JZ1+2JZ2=
При расчете на прочность балок, изготовленных из хрупких материалов, для сечений с одной осью симметрии необходимо вычислять два момента сопротивления относительно оси Z:

Из эпюры изгибающих моментов (рис. 19), построенной на сжатом волокне, следует, что в опасном сечении верхние волокна балки растянуты, а …