Корреллированность и зависимость случайных величин

• Корреляция
  • Корреляционный момент и коэффициент корреляции
  • Коррелированность и зависимость случайных величин
  • Нормальный закон распределения на плоскости
  • Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
  • Линейная корреляция. Нормальная корреляция
  • Коэффициент корреляции Пирсона
  • Коэффициент корреляции Пирсона: пример решения задачи
  • Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
  • Коэффициент корреляции Спирмена: пример решения задачи

Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и У называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что µ_xy =0, а это противоречит условию, так как
для коррелированных величин µ_xy ≠ 0.
Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.
Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения:
f (x, у)=1/6π внутри эллипса x²/9+у²/4 = 1;
f(x, у)=0 вне этого эллипса.

Доказать, что X и Y — зависимые некоррелированные величины.

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y:
, внутри заданного эллипса и f₁(х)=0, f₂(у) = 0 вне его.
Так как f(х, у) ≠ f₁(х) f₂(у), то X и Y — зависимые величины.

Для того чтобы доказать некоррелированность X и У, достаточно убедиться в том, что µ_xy=0. Найдем корреляционный момент по формуле

Поскольку функция f₁(x) симметрична относительно оси Оу, то М(Х)=0; аналогично, М(У)=0 в силу симметрии f(у) относительно оси Ох. Следовательно,

Вынося постоянный множитель f(x, у) за знак интеграла, получим

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, µ_xy = 0, т.е. зависимые случайные величины X и Y некоррелированы.

Итак, из коррелнрованности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.