Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и У называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что µxy =0, а это противоречит условию, так как
для коррелированных величин µxy ≠ 0.
Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.
Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения:
f (x, у)=1/6π внутри эллипса x2/9+у2/4 = 1;
f(x, у)=0 вне этого эллипса.

Доказать, что X и Y — зависимые некоррелированные величины.

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y:
плотности распределения, внутри заданного эллипса и f1(х)=0, f2(у) = 0 вне его.
Так как f(х, у) ≠ f1(х) f2(у), то X и Y — зависимые величины.

Для того чтобы доказать некоррелированность X и У, достаточно убедиться в том, что µxy=0. Найдем корреляционный момент по формуле

корреляционный момент

Поскольку функция f1(x) симметрична относительно оси Оу, то М(Х)=0; аналогично, М(У)=0 в силу симметрии f(у) относительно оси Ох. Следовательно,

Вынося постоянный множитель f(x, у) за знак интеграла, получим

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, µxy = 0, т.е. зависимые случайные величины X и Y некоррелированы.

Итак, из коррелнрованности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.

 

   

Выполненные готовые работы

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 
4.08
dasha0mvd2
Учусь в Московском Университете МВД России, специальность- следователь. Выполняю контрольные работы, рефераты, курсовые, решение задач по правовым дисциплинам. Гарантирую выполнить Вашу работу быстро и качественно. С уважением, Дарья.