Корреллированность и зависимость случайных величин

 

Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и У называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что µxy =0, а это противоречит условию, так как
для коррелированных величин µxy ≠ 0.
Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.
Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Читайте также  Абсолютный центр

Пример. Двумерная случайная величина (X, Y) задана плотностью распределения:
f (x, у)=1/6π внутри эллипса x2/9+у2/4 = 1;
f(x, у)=0 вне этого эллипса.

Доказать, что X и Y — зависимые некоррелированные величины.

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и Y:
плотности распределения, внутри заданного эллипса и f1(х)=0, f2(у) = 0 вне его.
Так как f(х, у) ≠ f1(х) f2(у), то X и Y — зависимые величины.

Читайте также  Алгоритм Флойда (поиск всех кратчайших путей в графе)

Для того чтобы доказать некоррелированность X и У, достаточно убедиться в том, что µxy=0. Найдем корреляционный момент по формуле

корреляционный момент

Поскольку функция f1(x) симметрична относительно оси Оу, то М(Х)=0; аналогично, М(У)=0 в силу симметрии f(у) относительно оси Ох. Следовательно,

Вынося постоянный множитель f(x, у) за знак интеграла, получим

Внутренний интеграл равен нулю (подынтегральная функция нечетна, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, µxy = 0, т.е. зависимые случайные величины X и Y некоррелированы.

Читайте также  Алгоритм Дейкстры

Итак, из коррелнрованности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.

 

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...