Корреляционный момент и коэффициент корреляции

 

Случайная величина описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией. Чтобы описать систему из двух случайных величин кроме «основных» характеристик используют так же корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционным моментом µxy случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

µxy = M { [ X — M(X) ] [ Y — M(Y) ] }

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

корреляционный момент дискретной величины
,

а для непрерывных величин — формулу :

корреляционный момент для непрерывной величины

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Замечание 1. Приняв во внимание, что отклонения есть центрированные случайные величины, можно дать корреляционному моменту определение, как математическому ожиданию произведения двух центрированных случайных величин:

Читайте также  Абсолютный центр

µxy= М [XцYц].

Замечание 2. Не сложно доказать, что корреляционный момент можно записать в виде

µxy= М (ХY) – М(X) М(У).

Теорема 1.  Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и У— независимые случайные величины, то их отклонения X—М (X) и У—М (У) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

µxy= М {[X — М (X)] M[Y — M (У)]} = М [X — М (X)] M[Y — M (У)] = 0.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и У. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких еди- ницах были измерены величины. Пусть, например, X и У были измерены в сантиметрах и µxy = 2 см2; если измерить X и У в миллиметрах,
то µxy = 200 мм. Такая особенность корреляционного мо-мента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику—коэффициент корреляции.
Коэффициентом корреляции гху случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих
величин:

Читайте также  Метод искусственного базиса (Симплекс-метод) - Пример 1

rxy= µxyxσy

Так как размерность µxy равна произведению размерностей величин X и У, σx имеет размерность величины X, σy имеет размерность величины Y, то rxy —безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.
Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (так как µxy = 0).

Замечание 3. Во многих вопросах теории вероятностей целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную случайную величину X’, которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению:

Х’ = (Х — М(Х))/σx.

Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины

Легко убедиться, что коэффициент корреляции rху равен корреляционному моменту нормированных величин Х’ и Y’ :

Читайте также  Задачи размещения

коэффициент корреляции есть корреляционный момент нормированных величин

Теорема 2.  Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательство.  Введем в рассмотрение случайную величину Z1= σyX — σxY и найдем ее дисперсию D(Zl) = M[Z1—mZl]2. Выполнив выкладки, получим

D(Z1) = 2σx2σy2 – 2σxσyµxy

 

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

x2σy2 – 2σxσyµxy ≥0.

Отсюда

µxy ≤ σxσy.

Введя случайную величину Zt = σyX+ σxY, аналогично найдем

µxy ≥ − σxσy.

Объединим два этих неравенства:

σxσy ≤ µxy ≤ σxσy или | µxy | ≤ σxσy

Итак,

Теорема 3.  Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

Доказательство:  Разделим обе части полученного двойного неравенства на произведение положительных чисел σxσy :

-1 ≤ rxy ≤ 1

Итак,

| rxy | ≤ 1

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...