Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Если обе функции регрессии У на X и X на У линейны, то говорят, что X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. Очевидно, что графики линейных функций регрессии — прямые линии, причем можно доказать, что они совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии. Имеет место следующая важная теорема.
Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
Доказательство. Двумерная плотность вероятности

плотность вероятности,

где u = (х—а1)/σx, v = (y—a2)/σy. (**)

Плотность вероятности составляющей X

плотность вероятности X

Найдем функцию регрессии М (Y | х), для чего сначала найдем условный закон распределения величины Y при Х=х

фи(y|x)=F(x,y)/f1(x)

Подставив (*) и (***) в правую часть этой формулы и выполнив выкладки, имеем

Заменив u и v по формулам (**), окончательно получим

Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии У на X)

M(Y|x)=a2+(x-a1)rσyx

и дисперсией σy2(1—r2).
Аналогично можно получить функцию регрессии X на Y:

M(X|y)=a1+(y—a2)rσxy

Так как обе функции регрессии линейны, то корреляция между величинами X и Y линейная, что и требовалось доказать.
Принимая во внимание вероятностный смысл параметров двумерного нормального распределения, заключаем, что уравнения прямых регрессии

y—a2= (x—a1)rσyx, x—a1= (y—a2)rσxy

совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии

 

Читайте также  Корреллированность и зависимость случайных величин
   
4.02
Shisha1111
Здравствуйте! Меня зовут Юлия. Я занимаюсь помощью студентам в написании дипломных работ, курсовых, рефератов, контрольных работ более 5 лет, еще со студенческой скамьи.