Линейная корреляция. Нормальная корреляция

• Корреляция
  • Корреляционный момент и коэффициент корреляции
  • Коррелированность и зависимость случайных величин
  • Нормальный закон распределения на плоскости
  • Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
  • Линейная корреляция. Нормальная корреляция
  • Коэффициент корреляции Пирсона
  • Коэффициент корреляции Пирсона: пример решения задачи
  • Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
  • Коэффициент корреляции Спирмена: пример решения задачи

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Если обе функции регрессии У на X и X на У линейны, то говорят, что X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. Очевидно, что графики линейных функций регрессии — прямые линии, причем можно доказать, что они совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии. Имеет место следующая важная теорема.
Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.
Доказательство. Двумерная плотность вероятности

,

где u = (х—а₁)/σ_x, v = (y—a₂)/σ_y. (**)

Плотность вероятности составляющей X

Найдем функцию регрессии М (Y | х), для чего сначала найдем условный закон распределения величины Y при Х=х

Подставив (*) и (***) в правую часть этой формулы и выполнив выкладки, имеем

Заменив u и v по формулам (**), окончательно получим

Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии У на X)

M(Y|x)=a₂+(x-a₁)rσ_y/σ_x

и дисперсией σ_y²(1—r²).
Аналогично можно получить функцию регрессии X на Y:

M(X|y)=a₁+(y—a₂)rσ_x/σ_y

Так как обе функции регрессии линейны, то корреляция между величинами X и Y линейная, что и требовалось доказать.
Принимая во внимание вероятностный смысл параметров двумерного нормального распределения, заключаем, что уравнения прямых регрессии

y—a₂= (x—a₁)rσ_y/σ_x, x—a₁= (y—a₂)rσ_x/σ_y

совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии