Нормальный закон распределения на плоскости

• Корреляция
  • Корреляционный момент и коэффициент корреляции
  • Коррелированность и зависимость случайных величин
  • Нормальный закон распределения на плоскости
  • Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
  • Линейная корреляция. Нормальная корреляция
  • Коэффициент корреляции Пирсона
  • Коэффициент корреляции Пирсона: пример решения задачи
  • Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
  • Коэффициент корреляции Спирмена: пример решения задачи

На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально.
Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

Мы видим, что нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу. Можно доказать, что эти параметры имеют следующий вероятностный смысл: а₁, а₂ — математические ожидания, σ_х, σ_у — средние квадратические отклонения, r_xу — коэффициент корреляции величин X и У.
Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Действительно, пусть X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в формуле r_xу = 0, получим

Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, а отсюда и следует независимость составляющих. Справедливо и обратное утверждение.
Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.

Замечание. Можно доказать, что если двумерная случайная величина распределена нормально с параметрами а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу, то ее составляющие также распределены нормально с параметрами, соответственно равными а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу.