На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
1) Для нахождения расстояния между прямыми DC1 и A1B2 мы можем использовать формулу длины перпендикуляра от точки до прямой. Для начала найдем координаты точки D1, которая является вершиной куба:
D1 = D + (0, 0, AB) = (A, B + AB, AB)
Теперь найдем вектор нормали к плоскости DC1A1B2 (это векторное произведение векторов DC1 и A1B2):
n = DC1 × A1B2
DC1 = C1 – D1 = (0, B + AB, AB) – (0, 0, AB) = (0, B + AB, 0)
A1B2 = B2 – A1 = (AB, 0, 0) – (0, AB, AB) = (AB, -AB, -AB)
n = (0, B + AB, 0) × (AB, -AB, -AB) = (AB^2 + AB(AB + B), 0, -AB^2 – AB(AB + B))
Затем найдем проекцию вектора DC1 на вектор нормали n:
proj_DC1_n = (DC1 · n) / |n|
DC1 · n = (0, B + AB, 0) · (AB^2 + AB(AB + B), 0, -AB^2 – AB(AB + B)) = 0 + (B + AB)(-AB^2 – AB(AB + B)) + 0 = -(B + AB)(AB^2 + AB(AB + B))
|n| = √((AB^2 + AB(AB + B))^2 + 0 + (-AB^2 – AB(AB + B))^2) = √((AB^2 + AB(AB + B))^2 + AB^4 + 2AB^3(AB + B) + AB^2(AB + B)^2)
proj_DC1_n = -(B + AB)(AB^2 + AB(AB + B)) / √((AB^2 + AB(AB + B))^2 + AB^4 + 2AB^3(AB + B) + AB^2(AB + B)^2)
2) Для нахождения расстояния между прямыми ВС и A1D1 мы также можем использовать формулу длины перпендикуляра от точки до прямой. При этом, вектор нормали будет равен векторному произведению векторов ВС и A1D1. Найдем координаты точек С и D1:
С = D + (AB, 0, AB) = (A + AB, B, 2AB)
D1 = D + (0, 0, AB) = (A, B + AB, AB)
Теперь найдем вектор нормали к плоскости ВСA1D1:
n = ВС × A1D1
BC = C – B = (A + AB, B, 0) – (AB, 0, 0) = (A, B, 0)
A1D1 = D1 – A1 = (A, B + AB, AB) – (0, AB, AB) = (A, B + AB – AB, AB – AB) = (A, B, 0)
n = (A, B, 0) × (A, B, 0) = (0, 0, AB^2 – AB^2) = (0, 0, 0)
Так как вектор нормали равен нулевому вектору, расстояние между прямыми ВС и A1D1 равно нулю.
3) Для нахождения расстояния от точки D1 до прямой АС мы также можем использовать формулу длины перпендикуляра от точки до прямой. Найдем координаты точек С и А:
С = D + (AB, 0, AB) = (A + AB, B, 2AB)
A = D + (AB, AB, 0) = (A + AB, B + AB, AB)
Далее, найдем вектор, направленный от точки C к точке A, и вектор нормали, который является перпендикулярным к плану, образованному точками D, A и C:
CA = A – C = ((A + AB) – (A + AB), (B + AB) – B, AB – 2AB) = (0, AB, -AB)
n = DA × CA
DA = A – D = ((A + AB) – A, (B + AB) – (B + AB), AB – 0) = (AB, 0, AB)
n = (AB, 0, AB) × (0, AB, -AB) = (0, AB^2 + AB^2, AB^2 + AB^2) = (0, 2AB^2, 2AB^2)
Теперь найдем проекцию вектора DA на вектор нормали n:
proj_DA_n = (DA · n) / |n|
DA · n = (AB, 0, AB) · (0, 2AB^2, 2AB^2) = 0 + 0 + AB(AB + AB) = 2AB^2
|n| = √(0^2 + (2AB^2)^2 + (2AB^2)^2) = √(0 + 4A^2B^4 + 4A^2B^4) = √(8A^2B^4) = 2AB^2√2
proj_DA_n = 2AB^2 / (2AB^2√2) = 1 / √2 = √2 / 2
Таким образом, расстояние от точки D1 до прямой АС равно √2 / 2 см.
