Контрольная работа Ne1 по теме «Векторы» Вариант 1 1. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны CD, N – точкана стороне AD. такая, что AN :ND = 3 : 4. Выразите векторы CN и MN , NB, BD через векторы b = BC и ä = AB. 2. Упростите выражение: a) PO+ EF + AE+ QA 6) (EF + (PE + FO)+ AA. b) (CB + AC + BD) – (MK + KD) г) 3(4а – 3Б) – 7Б д) 4(5q – 2p) – 5(7р + 6,4q) 3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные 2 см и 6 см.

1. В параллелограмме ABCD точка М – середина стороны CD, поэтому вектор CM равен половине вектора CD. Также, поскольку N – точка на стороне AD, AN : ND = 3 : 4, то вектор AM равен 3/7 вектора AD, а вектор ND равен 4/7 вектора AD.
Теперь выразим векторы CN и MN через векторы BC и AB:
– Вектор CN = v (вектор CD) + v (вектор NA). Заметим, что вектор NA равен -v (вектор AD) + v (вектор AN) = -v (вектор AD) + 3/7 v (вектор AD) = -4/7 v (вектор AD).
Таким образом, вектор CN = 1/2 v (вектор CD) – 4/7 v (вектор AD).
– Вектор MN = v (вектор MA) + v (вектор AN). Здесь вектор MA равен -v (вектор AD) + v (вектор AM) = -v (вектор AD) + 3/7 v (вектор AD) = -4/7 v (вектор AD).
Таким образом, вектор MN = -4/7 v (вектор AD) + 3/7 v (вектор AD) = -1/7 v (вектор AD).
– Вектор NB = v (вектор NC) + v (вектор BC). Заметим, что вектор NC = -v (вектор CN). Тогда вектор NB = -v (1/2 v (вектор CD) – 4/7 v (вектор AD)) + v (вектор BC).
– Вектор BD = v (вектор BA) + v (вектор AD). Здесь вектор BA равен -v (вектор BC) + v (вектор AB).
Таким образом, вектор BD = -v (вектор BC) + v (вектор AB) + v (вектор AD).

2. a) Упростите выражение: PO + EF + AE + QA
– Поскольку вектор PQ = -v (вектор OP), то OP + PQ = v (вектор OQ).
Таким образом, выражение PO + EF + AE + QA можно записать как v (вектор OQ) + EF + AE + v (вектор QO) = EF + AE.

b) Упростите выражение: (CB + AC + BD) – (MK + KD)
– Раскроем скобки: (CB + AC + BD) – (MK + KD) = CB + AC + BD – MK – KD.
Векторы MK и KD можно записать через векторы MN и ND: MK = -v (вектор MN) – v (вектор NK), KD = -v (вектор ND).
Тогда выражение станет: CB + AC + BD – MK – KD = CB + AC + BD + v (вектор MN) + v (вектор NK) + v (вектор ND) = CB + AC + BD + v (вектор MN) + (-v (вектор MN)) + (-1/7 v (вектор AD)) = CB + AC + BD – 1/7 v (вектор AD).

г) Упростите выражение: 3(4a – 3b) – 7b
– Раскроем скобки: 3(4a – 3b) – 7b = 12a – 9b – 7b = 12a – 16b.

д) Упростите выражение: 4(5q – 2p) – 5(7r + 6.4q)
– Раскроем скобки: 4(5q – 2p) – 5(7r + 6.4q) = 20q – 8p – 35r – 32q = -12q – 8p – 35r.

3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные 2 см и 6 см.
Рассмотрим треугольник, образуемый высотой, средней линией и одной из боковых сторон трапеции. Пусть высота равна h, средняя линия разбита на отрезки длиной 2 см и 6 см, а боковая сторона, примыкающая к высоте, равна b.
По теореме Пифагора в этом треугольнике:
h^2 = b^2 – (2^2 + 6^2) = b^2 – 40.
Таким образом, у нас имеется уравнение: h^2 = b^2 – 40.
Решив это уравнение, мы найдем значения высоты и боковой стороны треугольника.