Даны вершины треугольника:A(2;1),B(-1;3),C(4;5) λ=2 найти: 1) уравнение стороны АВ; 2) угол А в градусах с точностью до градуса; 3) уравнение высоты, проведенной из точки В(hB); 4) длину высоты hB; 5) уравнение медианы, проведенной из точки С(mc); 6) точку пересечения высоты hB и медианы mc; 7) найти координаты точки М, которая делит отрезок ВС в отношении ; 8) через точку С провести прямую, параллельную высоте hB.

1) Для нахождения уравнения стороны AB мы можем воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки:

Уравнение прямой AB имеет вид: y – y₁ = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁) * (x – x₁), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) – координаты точек A и B соответственно.

Подставим значения координат точек A и B: y – 1 = (3 – 1) / (-1 – 2) * (x – 2).

Получаем уравнение прямой AB: y = 2/3 * x + 8/3.

2) Для нахождения угла А мы можем воспользоваться формулой косинусов:

cos(A) = (b² + c² – a²) / (2 * b * c), где a, b, c – длины сторон треугольника.

Длины сторон треугольника можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

|AB| = sqrt((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) – координаты точек A и B соответственно.

Вычислим длины сторон AB, BC и AC:

|AB| = sqrt(((-1) – 2)² + (3 – 1)²) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13).

|BC| = sqrt((4 – (-1))² + (5 – 3)²) = sqrt(25 + 4) = sqrt(29).

|AC| = sqrt((4 – 2)² + (5 – 1)²) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2√5.

Подставляем значения в формулу косинусов: cos(A) = (13 + 29 – 20) / (2 * √13 * √29) = 22 / (2 * √377) = √377 / 19.

Находим угол А с помощью обратной функции косинуса: A = arccos(√377 / 19) ≈ 57°.

3) Уравнение высоты проведенной из точки B мы можем получить, используя уравнения прямых, перпендикулярных сторонам треугольника и проходящих через точку B.

Уравнение прямой, проходящей через А и перпендикулярной AB:

y – 1 = -3/2 * (x – 2).

Уравнение прямой, проходящей через С и перпендикулярной AC:

y – 5 = 2/√5 * (x – 4).

4) Длину высоты hB мы можем найти, используя формулу для расстояния между точкой B и прямой, на которой лежит высота:

hB = |(2/√5) * (-1) + 2 – 5| / sqrt((2/√5)² + 1²) = |(-2/√5) + 2 – 5| / sqrt(4/5 + 1) = |(3 – 2√5) / √5| / sqrt(9/5) = |(3 – 2√5) / √5| / (3/√5) = |3 – 2√5| / 3.

5) Уравнение медианы проведенной из точки C мы можем получить, используя уравнения прямых, проходящих через точку C и середину отрезка AB.

Координаты середины отрезка AB: M_AB((2 – 1) / 2, (1 + 3) / 2) = (1/2, 2).

Уравнение прямой, проходящей через C и M_AB:

y – 5 = (2 – 5/2) / (1/2 – 4) * (x – 4).

6) Точку пересечения высоты hB и медианы MC мы можем найти, решив систему уравнений прямых hB и MC. Для этого подставляем уравнения прямых hB и MC друг в друга и решаем полученное уравнение.

7) Координаты точки M, которая делит отрезок BC в заданном отношении, можно найти, используя формулу разделения отрезка в данном отношении:

x_M = (x₁ + λ * x₂) / (1 + λ), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) – координаты точек B и C соответственно.

y_M = (y₁ + λ * y₂) / (1 + λ), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) – координаты точек B и C соответственно.

Подставляем значения координат точек B, C и λ = 2: x_M = (-1 + 2 * 4) / (1 + 2) = 7 / 3; y_M = (3 + 2 * 5) / (1 + 2) = 13 / 3.

Таким образом, координаты точки М равны (7/3, 13/3).

8) Чтобы найти уравнение прямой, параллельной высоте hB и проходящей через точку C, мы можем использовать уравнение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через точку C. Уравнение прямой, параллельной hB и проходящей через C, имеет вид: y – 5 = (3 – 2√5) / 3 * (x – 4).