A(4, – 2) B(7, 0) C(- 3,1) Даны вершины треугольника ABC. Найдите: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты опустилось из точки С в сторону АВ: в) уравнение медианы, проведенной от А до ВС; г) Пересечение медианного уравнения с высотой, найденной в пунктах «б» и «д». смысл; д) уравнение прямой, параллельной АВ, проходящей через точку С; е) Расстояние от точки С до прямой АВ.

а) Чтобы найти уравнение стороны AB, нам нужно найти коэффициенты наклона и свободный член для этой линии. Для этого мы можем использовать формулу наклона:

m = (y2 – y1) / (x2 – x1),

где (x1, y1) и (x2, y2) – координаты двух точек на линии. В данном случае, (x1, y1) = (4, -2) и (x2, y2) = (7, 0).

Используя формулу, получаем:

m = (0 – (-2)) / (7 – 4) = 2 / 3.

Теперь мы можем найти уравнение линии, используя формулу:

y – y1 = m(x – x1),

где (x1, y1) – любая точка на линии. Возьмем (x1, y1) = (4, -2):

y – (-2) = (2/3)(x – 4).

После раскрытия скобок получаем уравнение стороны AB:

y + 2 = (2/3)(x – 4).

б) Уравнение высоты, опущенной из точки C на сторону AB, будет перпендикулярно AB и проходить через точку C. Уравнение этой высоты можно найти, используя точку C и коэффициент наклона, обратный к коэффициенту наклона AB. Коэффициент наклона AB равен 2/3, поэтому коэффициент наклона высоты будет -3/2.

Теперь мы можем использовать формулу:

y – y1 = m(x – x1),

где (x1, y1) – координаты точки C. В данном случае, (x1, y1) = (-3, 1).

Подставляя значения, получаем:

y – 1 = (-3/2)(x – (-3)).

Раскрывая скобки, получаем уравнение высоты:

y – 1 = (-3/2)(x + 3).

в) Чтобы найти уравнение медианы, проведенной от A до BC, нам нужно найти середину стороны BC и коэффициент наклона медианы. Середина стороны BC можно найти, используя формулу середины:

x = (x1 + x2) / 2,
y = (y1 + y2) / 2,

где (x1, y1) и (x2, y2) – координаты точек на линии. В данном случае, (x1, y1) = (-3, 1) и (x2, y2) = (7, 0).

Подставляя значения, получаем:

x = (-3 + 7) / 2 = 2,
y = (1 + 0) / 2 = 1/2.

Таким образом, середина стороны BC имеет координаты (2, 1/2).

Коэффициент наклона медианы равен отношению изменения y к изменению x между точкой A и серединой стороны BC. Из (4, -2) в (2, 1/2) есть изменение y равное (1/2 – (-2)) и изменение x равное (2 – 4).

Следовательно, коэффициент наклона медианы равен (1/2 – (-2)) / (2 – 4) = 5/4.

Теперь мы можем использовать формулу наклона по двум точкам:

m = (y2 – y1) / (x2 – x1).

Возьмем (x1, y1) = (4, -2) и (x2, y2) = (2, 1/2):

m = (1/2 – (-2)) / (2 – 4) = 5/4.

Уравнение медианы будет:

y – y1 = m(x – x1).

Подставляя значения, получаем:

y – (-2) = (5/4)(x – 4).

Раскрывая скобки, получаем уравнение медианы:

y + 2 = (5/4)(x – 4).

г) Чтобы найти пересечение медианного уравнения с уравнением высоты из пунктов «б» и «в», мы должны решить систему уравнений.

Уравнение высоты: y – 1 = (-3/2)(x + 3),
Уравнение медианы: y + 2 = (5/4)(x – 4).

Решая эту систему уравнений, мы найдем точку пересечения (x, y), которая будет точкой пересечения медианного уравнения с высотой.

с) Уравнение прямой, параллельной AB и проходящей через точку C, будет иметь такой же коэффициент наклона, что и у AB. Мы уже нашли, что коэффициент наклона AB равен 2/3.

Используя формулу наклона по точкам, мы можем найти уравнение линии:

m = (y – y1) / (x – x1),

где (x1, y1) – координаты точки C. В данном случае, (x1, y1) = (-3, 1).

Подставляя значения, получаем:

(