В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости заданы точки А , В , С. 1. Выписать уравнение медианы треугольника АВС , проведённой к стороне АВ . 2. Выписать уравнение срединного перпендикуляра к отрезку АВ . 3. Выписать уравнение высоты треугольника АВС , проведённой к стороне ВС . 4. Найти длину высоты треугольника АВС , проведённой к стороне СА. V=6, A(1, 7), B(-1, -2), C(-7, -1)

1. Чтобы найти уравнение медианы треугольника АВС, проведенной к стороне АВ, нужно сначала найти координаты точки, которая является серединой стороны АВ. Середина стороны АВ может быть найдена по формуле средней точки: (x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2). Где (x1, y1) и (x2, y2) – координаты точек А и В соответственно.

Координаты середины стороны АВ:
(x, y) = ((1 + (-1)) / 2, (7 + (-2)) / 2) = (0, 2.5)

Теперь у нас есть координаты середины стороны АВ. Чтобы найти уравнение медианы, мы должны использовать формулу уравнения прямой, которая проходит через точку (0, 2.5) и параллельна стороне АВ. Уравнение прямой вида y = mx + b, где m – угловой коэффициент и b – свободный член.

Угловой коэффициент m можно найти, зная координаты точек А и В:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (-2 – 7) / (-1 – 1) = -9 / -2 = 4.5

Теперь используя полученное значение углового коэффициента m и координаты точки (0, 2.5), мы можем найти свободный член b, подставив x = 0 и y = 2.5 в уравнение прямой:
2.5 = 4.5 * 0 + b
2.5 = b

Итак, уравнение медианы треугольника АВС, проведенной к стороне АВ, имеет вид:
y = 4.5x + 2.5

2. Чтобы найти уравнение срединного перпендикуляра к отрезку АВ, нужно сначала найти координаты середины отрезка АВ, используя формулу средней точки, так же, как и в первом пункте.

Координаты середины отрезка АВ:
(x, y) = ((1 + (-1)) / 2, (7 + (-2)) / 2) = (0, 2.5)

Теперь у нас есть координаты середины отрезка АВ. Чтобы найти уравнение срединного перпендикуляра, мы должны использовать формулу уравнения прямой, которая перпендикулярна стороне АВ и проходит через точку (0, 2.5). Уравнение прямой перпендикулярной прямой с угловым коэффициентом m, имеет вид y = -1/m * x + b, где m – угловой коэффициент и b – свободный член.

Угловой коэффициент m стороны АВ, перпендикулярной к ней, равен -1/4.5 (-1/m):
m = -1/m = -1/4.5 = -2/9

Теперь используя полученное значение углового коэффициента m и координаты точки (0, 2.5), мы можем найти свободный член b, подставив x = 0 и y = 2.5 в уравнение прямой:
2.5 = (-2/9) * 0 + b
2.5 = b

Итак, уравнение срединного перпендикуляра к отрезку АВ имеет вид:
y = -2/9x + 2.5

3. Чтобы найти уравнение высоты треугольника АВС, проведенной к стороне ВС, нужно сначала найти координаты угла В треугольника АВС.
Координаты угла В:
(x, y) = (-1, -2)

Теперь, используя координаты угла В и координаты точки С, мы можем найти уравнение прямой, проходящей через эти точки. Формула уравнения прямой: y = mx + b, где m – угловой коэффициент и b – свободный член.

Угловой коэффициент m можно найти, зная координаты точек B и C:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (-1 – (-2)) / (-7 – (-1)) = 1 / -6 = -1/6

Теперь используя полученное значение углового коэффициента m и координаты точки B (-1, -2), мы можем найти свободный член b:
-2 = (-1/6) * (-1) + b
-2 = 1/6 + b
-2 – 1/6 = b
-13/6 = b

Итак, уравнение высоты треугольника АВС, проведенной к стороне ВС, имеет вид:
y = -1/6x – 13/6

4. Чтобы найти длину высоты треугольника АВС, проведенной к стороне СА, нужно сначала найти уравнение прямой, которая является высотой треугольника и перпендикулярна стороне СА. Мы можем использовать уравнение срединного перпендикуляра, найденное во втором пункте, так как в случае высоты, серединой является точка, лежащая на стороне СА.

Уравнение срединного перпендикуляра к стороне СА имеет вид:
y = -2/9x + 2.5

Теперь высота треугольника будет являться прямой, перпендикулярной этому перпендикуляру и проходящей через точку C (-7, -1). Угловой коэффициент перпендикуляра равен -9/2 (обратное значение к угловому коэффициенту перпендикуляра к стороне АВ: -1/m).

Угловой коэффициент высоты m равен -2/9 * -9/2 = 1.

Используя полученное значение углового коэффициента m и координаты точки C (-7, -1), мы можем найти свободный член b:
-1 = 1 * (-7) + b
-1 = -7 + b
-1 + 7 = b
6 = b

Итак, уравнение высоты треугольника АВС, проведенной к стороне СА, имеет вид:
y = x + 6

Теперь мы знаем уравнение высоты треугольника АВС, проведенной к стороне СА, и можем использовать его, чтобы найти длину высоты. Для этого нужно найти расстояние от точки A до этой высоты, что можно сделать с помощью формулы расстояния между точкой и прямой.

Формула для расстояния от точки (x0, y0) до прямой ax + by + c = 0:
d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2)

В данном случае уравнение высоты треугольника имеет вид:
y = x + 6

Используя формулу, расстояние от точки A (1, 7) до высоты будет:
d = |1 + 7 + 6| / √(1^2 + 1^2) = |14| / √2 = 14√2 / 2 = 7√2

Итак, длина высоты треугольника АВС, проведенной к стороне СА, равна 7√2.