В треугольнике АВС на сторонах ВС и АВ отмечены точки D и Е такие, что BD : DC = 1: 2, BE : EA = 3: 4, и проведены отрезки AD и СЕ. На отрезке СЕ отмечена точка F такая, что СР : FE = 1: 5; на отрезке AD отмечена точка G такая, что АС и GF параллельны. Найдите AG : GD.

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойствами параллельных прямых и сторон треугольника.

Шаг 1: Обозначим длины отрезков BD и DC как x и 2x, соответственно. Обозначим длины отрезков BE и EA как 3y и 4y, соответственно.

Шаг 2: Заметим, что отрезок СР является сегментом отрезка CE, который делится на отношение 1:5. То есть, CR = CE / (1+5) = CE / 6. Также, отрезок RF является сегментом отрезка CE, который делится на отношение 5:1. То есть, EF = CE / (5+1) = CE / 6.

Шаг 3: Поскольку AC и GF параллельны, то треугольники АСD и FGE подобны. Значит, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению сторон в других треугольниках, к которым они подобны.

Шаг 4: Из треугольников АСD и FGE мы можем записать следующие отношения:
AC / GE = AD / EF = CD / FG.

Шаг 5: Подставим значения отрезков, которые у нас есть:
AC / GE = 5 / 1,
AD / EF = x / (CE / 6) = 6x / CE,
CD / FG = (2x) / (CE / 6) = 12x / CE.

Шаг 6: Из отношений, полученных в шаге 4, можем записать равенство:
5 / 1 = 6x / CE = 12x / CE.

Шаг 7: Упростим выражение и получим:
5 = 6x / CE = 12x / CE.

Шаг 8: Решим последнее равенство относительно CE:
CE = 12x / 5.

Шаг 9: Теперь мы можем выразить AG и GD через известные отрезки:
AG = AC + CG = 5CE + CE = 6CE = 6 * (12x / 5) = 72x / 5,
GD = DC – CG = 2x – CE = 2x – (12x / 5) = (10x / 5) – (12x / 5) = -2x / 5.

Шаг 10: Наконец, найдём отношение AG : GD:
AG / GD = (72x / 5) / (-2x / 5) = -72x / 10x = -72 / 10 = -7.2.

Ответ: AG : GD = -7.2.