На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения задачи воспользуемся формулой радиуса описанной окружности в треугольнике:
R = (a * b * c) / (4 * S)
где R – радиус описанной окружности, a, b, c – стороны треугольника, S – площадь треугольника.
Найдем площадь треугольника ABC, используя формулу площади треугольника по двум сторонам и синусу между ними:
S = (1/2) * a * b * sin(C)
где a = BC = 18 – из условия, C – угол, противолежащий стороне a.
Поскольку углы треугольника равны 180 градусам, мы можем найти угол A:
A = 180 – B – C
Из условия sinA = 13 получаем:
sin(180 – B – C) = 13
Обратимся к тригонометрическим тождествам и заменим sin(180 – B – C) на sinB*cosC + sinC*cosB:
sinB*cosC + sinC*cosB = 13
Поскольку sinB и sinC неизвестны, мы не можем решить это уравнение напрямую, но мы можем воспользоваться информацией о том, что B + C = 180 – A, чтобы выразить sinA через sinB и sinC.
sinA = sin(180 – B – C) = sin(180 – (180 – A)) = sinA
Теперь у нас есть уравнение:
sinA = sinB*cosC + sinC*cosB
sinA = 13
sinA и sinB равны, следовательно, cosC + cosB = 1/13
Применим формулу для cosC + cosB:
cosC + cosB = 1/13
2*cos((C + B)/2)*cos((C – B)/2) = 1/13
(cos(C + B)/2)*cos((C – B)/2) = 1/26
Так как C + B = 180 – A, а A равно 180 градусам, мы знаем, что C + B = 0, и таким образом:
cos(0/2)*cos((0 – B)/2) = 1/26
cosB/2 = 1/26
cosB/2 = 1/26
2*cos^2(B/2) – 1 = 1/676
2*cos^2(B/2) = 677/676
cos^2(B/2) = 677/1352
cos(B/2) = sqrt(677/1352)
Теперь, когда мы знаем cos(B/2), мы можем найти sin(B/2) с помощью тождества:
sin^2(B/2) + cos^2(B/2) = 1
sin^2(B/2) = 1 – cos^2(B/2)
sin(B/2) = sqrt(1 – cos^2(B/2))
Мы нашли sin(B/2), исходя из этого мы можем найти sinB:
sinB = 2*sin(B/2)*cos(B/2)
Теперь, когда у нас есть sinA и sinB, мы можем рассчитать радиус R, используя формулу:
R = (a * b * c) / (4 * S)
Следовательно, известные значения:
a = BC = 18
b = AC, где применяем теорему синусов:
sinA/a = sinB/b
sinA * b = sinB * a
b = (sinB * a) / sinA
c = AB
Подставим значения в формулу радиуса:
R = (a * b * c) / (4 * S)
Ответ: радиус описанной окружности в треугольнике ABC равен R.
