В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 7, tg BAC = 4√33/33. Найдите высоту AH.

Для решения задачи используем теорему синусов:

абс(sin(углаABC)) / BC = абс(sin(углаBAC)) / AC

Так как AC = BC, то абс(sin(углаABC)) = абс(sin(углаBAC)), следовательно sin(углаABC) = sin(углаBAC)

Из условия задачи имеем tg(углаBAC) = 4√33/33

Гипотенуза прямоугольного треугольника ABC – это AB = 7

Используя теорему Пифагора, найдем BC:

BC = sqrt(AB^2 – AC^2) = sqrt(7^2 – AC^2) = sqrt(49 – AC^2) = sqrt(49 – AC^2)

Подставим это значение в теорему синусов:

sin(углаABC) / sqrt(49 – AC^2) = 4√33/33

Так как sin(углаABC) = sin(углаBAC), получаем:

sin(углаBAC) / sqrt(49 – AC^2) = 4√33/33

sin(углаBAC) = (4√33/33) * sqrt(49 – AC^2)

sin(углаBAC) = 4√33 * sqrt(49 – AC^2) / 33

sin^2(углаBAC) = (4√33 * sqrt(49 – AC^2) / 33)^2

sin^2(углаBAC) = (16 * 33 * (49 – AC^2)) / 33^2 = 16 * (49 – AC^2) / 33

sin^2(углаBAC) = (784 – 16AC^2) / 33

sin^2(углаBAC) = (784 – 16AC^2) / 33

(784 – 16AC^2) / 33 = 16√33 * sqrt(49 – AC^2) / 33

784 – 16AC^2 = 16 * sqrt(33) * sqrt(49 – AC^2)

784 – 16AC^2 = 16 * sqrt(33 * (49 – AC^2))

784 – 16AC^2 = 16 * sqrt(33 * 49 – 33AC^2)

784 = 16 * sqrt(33 * 49 – 33AC^2) + 16AC^2

784 = 16 * sqrt(33 * 49) + 16AC^2

784 = 16 * 7 * sqrt(33) + 16AC^2

784 = 112 * sqrt(33) + 16AC^2

16AC^2 = 784 – 112 * sqrt(33)

AC^2 = (784 – 112 * sqrt(33)) / 16

AC = sqrt((784 – 112 * sqrt(33)) / 16)

Теперь найдем высоту треугольника AH.

Из прямоугольного треугольника AHC можно записать уравнение:

sin(углаBAC) = AH / AC

AH = AC * sin(углаBAC)

AH = sqrt((784 – 112 * sqrt(33)) / 16) * (4√33/33)

Окончательный ответ: AH = sqrt((784 – 112 * sqrt(33)) / 16) * (4√33/33)