На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства окружностей, а также отношение сторон треугольника.
Шаг 1: Обозначим отрезок QR за x. Тогда отрезки PQ и PR будут равны 1,5x и x соответственно.
Шаг 2: Поскольку окружность, проходящая через вершину Р, касается стороны QR в точке F, то отрезок QF будет равен радиусу этой окружности.
Шаг 3: Используя свойство касательных, отметим, что QF^2 = QM * QR, FR^2 = RN * QR.
Шаг 4: Из условия задачи, отношение QM : RN равно 1 : 6. То есть, QM = QR / 7 и RN = 6 * QR / 7.
Шаг 5: Подставляем QM и RN в формулы из шага 3 и получаем QF^2 = (QR / 7) * QR = QR^2 / 7 и FR^2 = (6 * QR / 7) * QR = 6^2 * QR^2 / 7.
Шаг 6: Поскольку QF и FR являются длинами отрезков, а не их квадратами, мы можем взять квадратный корень и получить QF = QR / sqrt(7) и FR = 6 * QR / sqrt(7).
Шаг 7: Зная, что PQ = 1,5x и PR = x, мы можем выразить QR через x, используя теорему Пифагора в треугольнике PQR: (1,5x)^2 = x^2 + QR^2.
Шаг 8: Решаем это квадратное уравнение относительно QR: 2,25x^2 = x^2 + QR^2, QR^2 = 2,25x^2 – x^2, QR^2 = 1,25x^2.
Шаг 9: Находим QR, взяв квадратный корень из обоих сторон уравнения: QR = sqrt(1,25x^2), QR = 1,118x.
Шаг 10: Подставляем QR в выражения для QF и FR, получаем QF = 1,118x / sqrt(7) и FR = 6 * 1,118x / sqrt(7).
Шаг 11: Находим отношение QF : FR, деля QF на FR: (1,118x / sqrt(7)) / (6 * 1,118x / sqrt(7)), что равно 1 / 6.
Ответ: Отношение QF : FR равно 1 : 6.
