Вершина C параллелограмма ABCD соединена с серединой L стороны AB. На отрезке LC отмечены точки M и N, причём точка M расположена между L и N, а прямые BM и DN параллельны. Найдите отношение площадей многоугольника ABMND и треугольника BMC.

Пусть сторона параллелограмма AB равна a, а сторона AD равна b. Так как LN является медианой треугольника ABC, то точка L делит сторону AB пополам, то есть AL = LB = a/2.

Обозначим точку пересечения прямых BM и DN через точку K. Так как прямые BM и DN параллельны, то треугольник BMC и треугольник BKN подобны по двум углам. То есть BM/BK = MC/KN.

Также выполнена пропорция KL/LC = BK/BN, так как прямые AB и DC параллельны и AL = LB.

Поскольку точка L делит сторону AB пополам, то KL = a/4 и LC = 3a/4.

Используя пропорцию, можно записать BK/BN = KL/LC = a/4 / (3a/4) = 1/3.

Так как BK + BN = BC, то BK/(BK + BN) = 1/4, а значит, BN/(BK + BN) = 3/4.

Теперь посчитаем отношение площадей многоугольника ABMND и треугольника BMC.

Площадь многоугольника ABMND равна сумме площадей треугольника BMC и треугольника NCD. Так как треугольник BMC и треугольник NCD имеют общую высоту и параллельные основания, их площади относятся как основания. То есть площадь треугольника BMC / площадь треугольника NCD = BC / CD = a / b.

Таким образом, отношение площадей многоугольника ABMND и треугольника BMC равно:

S(ABMND) / S(BMC) = (S(BMC) + S(NCD)) / S(BMC) = 1 + S(NCD) / S(BMC) = 1 + 1 / (a / b) = 1 + b / a

Ответ: отношение площадей многоугольника ABMND и треугольника BMC равно 1 + b / a.