вычисли подробно предел числовой последовательности (1+3+5+7+…+2*n-1)/(n+1)-(2*n+1)/2

Для вычисления данного предела рассмотрим числовую последовательность:

a_n = (1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1))/(n+1) – (2n+1)/2

Сначала найдем сумму первых n нечетных чисел:

1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n^2

Теперь рассмотрим первую дробь в выражении последовательности a_n:

(1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1))/(n+1) = n^2 / (n+1)

Далее рассмотрим вторую дробь:

(2n+1)/2 = n + 1/2

Теперь заменим в исходной последовательности a_n первую и вторую дроби на их значения:

a_n = (n^2 / (n+1)) – (n + 1/2)

Сокращаем общий знаменатель:

a_n = (n^2 – (n+1)(n+1/2)) / (n+1)

a_n = (n^2 – (n^2 + n + n + 1/2)) / (n+1)

a_n = (n^2 – n^2 – 2n – 1/2) / (n+1)

a_n = (-2n – 1/2) / (n+1)

Теперь найдем предел данной последовательности при n стремящемся к бесконечности:

lim(n→∞) (-2n – 1/2) / (n+1) = lim(n→∞) (-2 – 1/2n) / (1 + 1/n)

При подсчете предела степенные функции со слагаемыми, стремящимися к бесконечности, игнорируются:

lim(n→∞) (-2 – 1/2n) / (1 + 1/n) = lim(n→∞) (-2) / (1) = -2

Таким образом, предел данной числовой последовательности равен -2.