На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для составления закона распределения случайной величины X необходимо определить все возможные значения выигрыша и их вероятности.
Лицо, имеющее 3 билета, может выиграть 0, 4, 8, 10 или 14 рублей. Вероятность каждого значения можно найти, разделив количество способов выигрышей на общее количество возможных исходов.
Для нахождения вероятностей выигрышей проведем следующие шаги:
1. Определим количество способов получить каждый выигрыш.
– Количество способов получить 0 рублей – это количество способов не выбрать ни один билет из 3 доступных. Это соответствует сочетанию из 10 по 3 и равно C(10, 3) = 120.
– Количество способов получить 4 рубля – это количество способов выбрать 1 билет из 3 и 3 оставшихся билета из оставшихся 7 доступных. Это равно C(3, 1) * C(7, 3) = 105.
– Количество способов получить 8 рублей – это количество способов выбрать 2 билета из 3 и 2 оставшихся билета из оставшихся 7 доступных. Это равно C(3, 2) * C(7, 2) = 63.
– Количество способов получить 10 рублей – это количество способов выбрать 2 билета из 3 и 1 оставшийся билет из оставшихся 7 доступных. Это равно C(3, 2) * C(7, 1) = 21.
– Количество способов получить 14 рублей – это количество способов выбрать 3 билета из 3 и 0 оставшихся билета из оставшихся 7 доступных. Это равно C(3, 3) * C(7, 0) = 1.
2. Рассчитаем общее количество возможных исходов.
Общее количество исходов равно C(10, 3) = 120.
3. Найдем вероятность каждого выигрыша.
Вероятность каждого выигрыша равна количеству способов получить этот выигрыш, поделенному на общее количество исходов.
– Вероятность выигрыша 0 рублей: 120/120 = 1.
– Вероятность выигрыша 4 рубля: 105/120 = 7/8.
– Вероятность выигрыша 8 рублей: 63/120 = 7/15.
– Вероятность выигрыша 10 рублей: 21/120 = 7/40.
– Вероятность выигрыша 14 рублей: 1/120.
Таким образом, закон распределения случайной величины X будет иметь вид:
X | 0 | 4 | 8 | 10 | 14 |
—|——–|——–|——–|——-|——-|
P(X)| 1 | 7/8 | 7/15 | 7/40 | 1/120 |
Для вычисления математического ожидания необходимо умножить каждое значение выигрыша на его соответствующую вероятность и сложить полученные произведения.
M(X) = 0 * 1 + 4 * 7/8 + 8 * 7/15 + 10 * 7/40 + 14 * 1/120
= 0 + 7/2 + 56/15 + 7/4 + 7/60
= 2 + 32/15 + 21/15 + 7/60
= 2 + 53/60
= 2.88333
Таким образом, математическое ожидание выигрыша составляет около 2.88 рублей.
Для вычисления дисперсии необходимо вычислить среднеквадратичное отклонение от математического ожидания, возведенное в квадрат. Для каждого значения выигрыша вычислим квадрат разности его значения и математического ожидания, умножим на соответствующую вероятность и сложим полученные произведения.
D(X) = (0 – 2.88333)^2 * 1 + (4 – 2.88333)^2 * 7/8 + (8 – 2.88333)^2 * 7/15 + (10 – 2.88333)^2 * 7/40 + (14 – 2.88333)^2 * 1/120
= 8.30141
Таким образом, дисперсия выигрыша составляет около 8.30 рублей.
Для построения функции распределения необходимо вычислить сумму вероятностей выигрышей не больше каждого значения выигрыша.
F(X <= 0) = P(X=0) = 1/1 = 1 F(X <= 4) = P(X=0) + P(X=4) = 1 + 7/8 = 15/8 F(X <= 8) = P(X <= 4) + P(X=8) = 15/8 + 7/15 = 183/120 F(X <= 10) = P(X <= 8) + P(X=10) = 183/120 + 7/40 = 331/240 F(X <= 14) = P(X <= 10) + P(X=14) = 331/240 + 1/120 = 661/480 Таким образом, функция распределения будет иметь вид: F(X) = { 1 , если X <= 0 { 15/8 , если 0 < X <= 4 { 183/120 , если 4 < X <= 8 { 331/240 , если 8 < X <= 10 { 661/480 , если 10 < X <= 14 { 1 , если X > 14
Таким образом, закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и функция распределения для случайной величины X найдены.
