Автомат обрабатывает натуральное число N по следующему алгоритму: 1 Строится двоичная запись числа N. 2 В конец записи (справа) дописывается вторая справа цифра двоичной записи. 3 В конец записи (справа) дописывается вторая слева цифра двоичной записи. 4 Результат переводится в десятичную систему. Для скольких значений N в результате работы алгоритма получится число, принадлежащее отрезку [150; 250]?

Для решения этой задачи нужно пронаблюдать и найти закономерности в алгоритме.

Пусть N – исходное число.

Шаг 1: Переводим N в двоичную систему счисления.

Шаг 2: Добавляем вторую справа цифру двоичной записи числа N к его концу.

Шаг 3: Добавляем вторую слева цифру двоичной записи числа N к его концу.

Шаг 4: Переводим получившуюся двоичную запись обратно в десятичную систему счисления.

Для процесса добавления двух цифр в конце двоичной записи числа N используемим правило: сначала добаляем вторую справа цифру, затем добавляем вторую слева цифру. Таким образом, в каждой итерации число получает две новые цифры в конце своей двоичной записи. Число итераций будет равно количеству цифр в исходной двоичной записи числа N.

Теперь рассмотрим диапазон чисел [150; 250]. Прежде чем продолжить решение, можно предположить, что числа в диапазоне [150; 250] имеют длину двоичной записи равной 8 цифрам. Давайте проверим это.

Для получения числа, имеющего двоичную запись с длиной 8 цифр, нужно создать число в десятичной системе, которое соответствует двоичной записи “11111111”. Обратим также внимание, что это число является наибольшим 8-битным числом. Таким образом, наше предположение о длине двоичной записи чисел из диапазона [150; 250] подтверждается. Получается, что нам нужно найти, для скольких 8-битных чисел процесс алгоритма будет выдавать результат, принадлежащий диапазону [150; 250].

Так как мы имеем дело только с 8-битными числами, нижняя граница диапазона [150; 250] – это число “10010110” (в двоичной системе счисления), а верхняя граница – это число “11111010” (в двоичной системе счисления).

Теперь мы можем перебрать все 8-битные числа и проверить, сколько из них удовлетворяют условиям алгоритма. Можно заметить, что в двоичной системе счисления наше число N будет удовлетворять условиям тогда и только тогда, когда у него две единицы в конце и две единицы в начале.

Используя эту информацию, мы можем перебрать варианты для двух крайних битов (первого и восьмого) числа N. Для каждой комбинации этих двух битов оставшиеся шесть битов могут быть установлены в любом порядке. Это означает, что общее число возможных чисел N, удовлетворяющих условиям алгоритма, будет равно 2 * 2 * (6!)=576.

Итак, для 576 значений N в результате работы алгоритма получится число, которое принадлежит диапазону [150; 250].