1+6*x-sqrt(7-3*x)>0

$$6 x + 1 – sqrt{- 3 x + 7} > 0$$

Дано неравенство:
$$6 x + 1 – sqrt{- 3 x + 7} > 0$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$6 x + 1 – sqrt{- 3 x + 7} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$6 x + 1 – sqrt{- 3 x + 7} = 0$$
$$- sqrt{- 3 x + 7} = – 6 x – 1$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- 3 x + 7 = left(- 6 x – 1right)^{2}$$
$$- 3 x + 7 = 36 x^{2} + 12 x + 1$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 36 x^{2} – 15 x + 6 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = -36$$
$$b = -15$$
$$c = 6$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-15)^2 – 4 * (-36) * (6) = 1089

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = – frac{2}{3}$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$

Т.к.
$$sqrt{- 3 x + 7} = 6 x + 1$$
и
$$sqrt{- 3 x + 7} geq 0$$
то
$$6 x + 1 geq 0$$
или
$$- frac{1}{6} leq x$$
$$x < infty$$
$$x_{2} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = frac{1}{4}$$
$$x_{1} = frac{1}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{1}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$frac{3}{20}$$
=
$$frac{3}{20}$$
подставляем в выражение
$$6 x + 1 – sqrt{- 3 x + 7} > 0$$

_________
6*3 / 3*3
1 + — – / 7 – — > 0
20 / 20

_____
19 / 655
— – ——- > 0
10 10

Тогда
$$x < frac{1}{4}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > frac{1}{4}$$

_____
/
——-ο——-
x1

$$x leq frac{7}{3} wedge frac{1}{4} < x$$

(1/4, 7/3]

$$x in left(frac{1}{4}, frac{7}{3}right]$$