3*cos(2*x)+cos(x)-4=0

$$cos{left (x right )} + 3 cos{left (2 x right )} – 4 = 0$$

Дано уравнение
$$cos{left (x right )} + 3 cos{left (2 x right )} – 4 = 0$$
преобразуем
$$6 cos^{2}{left (x right )} + cos{left (x right )} – 7 = 0$$
$$6 cos^{2}{left (x right )} + cos{left (x right )} – 7 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 6$$
$$b = 1$$
$$c = -7$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(1)^2 – 4 * (6) * (-7) = 169

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = – frac{7}{6}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{1} = pi n$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{7}{6} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (- frac{7}{6} right )}$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (1 right )}$$
$$x_{3} = pi n – pi$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{7}{6} right )}$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (- frac{7}{6} right )}$$

$$x_{1} = 0$$

/ 6
x2 = pi + I*log|———-|
| ____|
7 – / 13 /

$$x_{2} = pi + i log{left (frac{6}{- sqrt{13} + 7} right )}$$

/ 6
x3 = pi + I*log|———-|
| ____|
7 + / 13 /

$$x_{3} = pi + i log{left (frac{6}{sqrt{13} + 7} right )}$$

x1 = -12.5663703614000

x2 = 12.5663704511000

x3 = -31.4159267060000

x4 = -56.5486675148000

x5 = 87.9645943358000

x6 = 94.2477796094000

x7 = 69.1150386147000

x8 = 37.6991120202000

x9 = -12.5663702113000

x10 = -6.28318513711000

x11 = -43.9822971746000

x12 = 50.2654824463000

x13 = 62.8318528284000

x14 = -320.442451006000

x15 = 69.1150381381000

x16 = -18.8495561491000

x17 = 6.28318528425000

x18 = -100.530964669000

x19 = -69.1150386311000

x20 = -69.1150384555000

x21 = -100.530964699000

x22 = 75.3982239446000

x23 = 25.1327414711000

x24 = -50.2654822946000

x25 = 81.6814091772000

x26 = -25.1327414783000

x27 = 25.1327409939000

x28 = -37.6991118772000

x29 = 18.8495557023000

x30 = 43.9822971694000

x31 = -75.3982238630000

x32 = -87.9645943759000

x33 = 18.8495556749000

x34 = 75.3982238950000

x35 = -81.6814090380000

x36 = -18.8495556736000

x37 = 31.4159267918000

x38 = -62.8318532908000

x39 = -94.2477794524000

x40 = -25.1327413703000

x41 = 62.8318527610000

x42 = 31.4159268347000

x43 = -18.8495557369000

x44 = -62.8318528192000

x45 = 0.0

x46 = 100.530964766000

x47 = -87.9645943588000

x48 = 56.5486676085000