y = sin(x+pi/4)

$$f{left (x right )} = sin{left (x + frac{pi}{4} right )}$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$sin{left (x + frac{pi}{4} right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 99.7455667515$$
$$x_{2} = 21.2057504117$$
$$x_{3} = 90.3207887907$$
$$x_{4} = -69.9004365424$$
$$x_{5} = -38.4845100065$$
$$x_{6} = -73.042029196$$
$$x_{7} = 96.6039740979$$
$$x_{8} = 62.0464549084$$
$$x_{9} = 74.6128255228$$
$$x_{10} = -63.6172512352$$
$$x_{11} = 77.7544181763$$
$$x_{12} = -76.1836218496$$
$$x_{13} = -22.7765467385$$
$$x_{14} = 18.0641577581$$
$$x_{15} = 33.7721210261$$
$$x_{16} = 49.480084294$$
$$x_{17} = 36.9137136797$$
$$x_{18} = -13.3517687778$$
$$x_{19} = -88.7499924639$$
$$x_{20} = -16.4933614313$$
$$x_{21} = -85.6083998103$$
$$x_{22} = -82.4668071567$$
$$x_{23} = -47.9092879672$$
$$x_{24} = 71.4712328692$$
$$x_{25} = -10.2101761242$$
$$x_{26} = 80.8960108299$$
$$x_{27} = -0.785398163397$$
$$x_{28} = 24.3473430653$$
$$x_{29} = -54.1924732744$$
$$x_{30} = 93.4623814443$$
$$x_{31} = -29.0597320457$$
$$x_{32} = 43.1968989869$$
$$x_{33} = 14.9225651046$$
$$x_{34} = -98.1747704247$$
$$x_{35} = -95.0331777711$$
$$x_{36} = 40.0553063333$$
$$x_{37} = 65.188047562$$
$$x_{38} = -66.7588438888$$
$$x_{39} = 1745.94011723$$
$$x_{40} = 11.780972451$$
$$x_{41} = -3.92699081699$$
$$x_{42} = 68.3296402156$$
$$x_{43} = -25.9181393921$$
$$x_{44} = 52.6216769476$$
$$x_{45} = -19.6349540849$$
$$x_{46} = -32.2013246993$$
$$x_{47} = 5.49778714378$$
$$x_{48} = -79.3252145031$$
$$x_{49} = 58.9048622548$$
$$x_{50} = -44.7676953137$$
$$x_{51} = 30.6305283725$$
$$x_{52} = -60.4756585816$$
$$x_{53} = 391.913683535$$
$$x_{54} = 87.1791961371$$
$$x_{55} = -57.334065928$$
$$x_{56} = -107.599548385$$
$$x_{57} = -35.3429173529$$
$$x_{58} = -41.6261026601$$
$$x_{59} = 55.7632696012$$
$$x_{60} = 84.0376034835$$
$$x_{61} = 46.3384916404$$
$$x_{62} = -51.0508806208$$
$$x_{63} = 27.4889357189$$
$$x_{64} = 2.35619449019$$
$$x_{65} = 8.63937979737$$
$$x_{66} = -7.06858347058$$
$$x_{67} = -91.8915851175$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sin(x + pi/4).
$$sin{left (frac{pi}{4} right )}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = frac{sqrt{2}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(2)/2)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{5 pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

pi /pi pi
(–, sin|– + –|)
4 4 4 /

5*pi /pi pi
(—-, -sin|– + –|)
4 4 4 /

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{5 pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = frac{pi}{4}$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi/4] U [5*pi/4, oo)

Возрастает на промежутках

[pi/4, 5*pi/4]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{3 pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -pi/4] U [3*pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

[-pi/4, 3*pi/4]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty} sin{left (x + frac{pi}{4} right )} = langle -1, 1rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = langle -1, 1rangle$$

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x + pi/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} sin{left (x + frac{pi}{4} right )}right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$sin{left (x + frac{pi}{4} right )} = cos{left (x + frac{pi}{4} right )}$$
– Нет
$$sin{left (x + frac{pi}{4} right )} = – cos{left (x + frac{pi}{4} right )}$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной