4*sqrt(2)*cos(x)^3>=2

$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (x right )} geq 2$$

Дано неравенство:
$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (x right )} geq 2$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (x right )} = 2$$
Решаем:
Дано уравнение
$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (x right )} = 2$$
преобразуем
$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (x right )} – 2 = 0$$
$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (x right )} – 2 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Дано уравнение
$$4 sqrt{2} w^{3} – 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{4 sqrt{2}} sqrt[3]{w^{3}} = sqrt[3]{2}$$
или
$$2^{frac{5}{6}} w = sqrt[3]{2}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

w*2^5/6 = 2^(1/3)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

w*2^5/6 = 2^1/3

Разделим обе части ур-ния на 2^(5/6)

w = 2^(1/3) / (2^(5/6))

Получим ответ: w = sqrt(2)/2

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = w$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = frac{sqrt{2}}{4}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = frac{sqrt{2}}{4}$$
где
$$r = frac{sqrt{2}}{2}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = frac{sqrt{2}}{2}$$
$$z_{2} = – frac{sqrt{2}}{4} – frac{sqrt{6} i}{4}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt{2}}{4} + frac{sqrt{6} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$z = w$$
$$w = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$w_{1} = frac{sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = – frac{sqrt{2}}{4} – frac{sqrt{6} i}{4}$$
$$w_{3} = – frac{sqrt{2}}{4} + frac{sqrt{6} i}{4}$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$x_{1} = pi n + frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{2} = pi n – pi + {acos}{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n – frac{3 pi}{4}$$
$$x_{1} = frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{7 pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 pi – {acos}{left (- frac{sqrt{2}}{4} – frac{sqrt{6} i}{4} right )}$$
$$x_{4} = 2 pi – {acos}{left (- frac{sqrt{2}}{4} + frac{sqrt{6} i}{4} right )}$$
$$x_{5} = {acos}{left (- frac{sqrt{2}}{4} – frac{sqrt{6} i}{4} right )}$$
$$x_{6} = {acos}{left (- frac{sqrt{2}}{4} + frac{sqrt{6} i}{4} right )}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{7 pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{pi}{4}$$
$$x_{2} = frac{7 pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{pi}{4}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (x right )} geq 2$$
$$4 sqrt{2} cos^{3}{left (- frac{1}{10} + frac{pi}{4} right )} geq 2$$

___ 3/1 pi
4*/ 2 *sin |– + –| >= 2
10 4 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{pi}{4}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x1 x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{pi}{4}$$
$$x geq frac{7 pi}{4}$$

/ / pi 7*pi
Or|And|x <= --, -oo < x|, x = ----| 4 / 4 /

$$left(x leq frac{pi}{4} wedge -infty < xright) vee x = frac{7 pi}{4}$$

pi 7*pi
(-oo, –] U {—-}
4 4

$$x in left(-infty, frac{pi}{4}right] cup left{frac{7 pi}{4}right}$$