(7*x)^(2*log(x)*1/log(7)-1)>=343*1/(x^(4*log(x)*1/log(7)-3))

$$left(7 xright)^{frac{2 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 1} geq frac{343}{x^{frac{4 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 3}}$$

Дано неравенство:
$$left(7 xright)^{frac{2 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 1} geq frac{343}{x^{frac{4 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 3}}$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$left(7 xright)^{frac{2 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 1} = frac{343}{x^{frac{4 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 3}}$$
Решаем:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = frac{sqrt[3]{7}}{7}$$
$$x_{3} = sqrt[6]{7} e^{- frac{1}{6} sqrt{log{left (1341068619663964900807 right )} – 12 i pi} sqrt{log{left (7 right )}}}$$
$$x_{4} = sqrt[6]{7} e^{frac{1}{6} sqrt{log{left (1341068619663964900807 right )} – 12 i pi} sqrt{log{left (7 right )}}}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = frac{sqrt[3]{7}}{7}$$
Данные корни
$$x_{2} = frac{sqrt[3]{7}}{7}$$
$$x_{1} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{sqrt[3]{7}}{7}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{sqrt[3]{7}}{7}$$
подставляем в выражение
$$left(7 xright)^{frac{2 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 1} geq frac{343}{x^{frac{4 log{left (x right )}}{log{left (7 right )}} – 3}}$$
$$left(7 left(- frac{1}{10} + frac{sqrt[3]{7}}{7}right)right)^{frac{2 log{left (- frac{1}{10} + frac{sqrt[3]{7}}{7} right )}}{log{left (7 right )}} – 1} geq frac{343}{left(- frac{1}{10} + frac{sqrt[3]{7}}{7}right)^{frac{4 log{left (- frac{1}{10} + frac{sqrt[3]{7}}{7} right )}}{log{left (7 right )}} – 3}}$$

/ 3 ___
/ 3 ___ | 1 / 7 |
| 1 / 7 | 4*log|- — + —–|
2*log|- — + —–| 10 7 /
10 7 / 3 – ——————-
-1 + ——————- >= log(7)
log(7) / 3 ___
/ 7 3 ___ | 1 / 7 |
|- — + / 7 | 343*|- — + —–|
10 / 10 7 /

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x leq frac{sqrt[3]{7}}{7}$$

_____ _____
/
——-•——-•——-
x2 x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x leq frac{sqrt[3]{7}}{7}$$
$$x geq 7$$

$$left(0 leq x wedge x leq frac{sqrt[3]{7}}{7}right) vee left(7 leq x wedge x < inftyright)$$

3 ___
/ 7
[0, —–] U [7, oo)
7

$$x in left[0, frac{sqrt[3]{7}}{7}right] cup left[7, inftyright)$$