2*log(2*log(2*x))+log(1)*1/2*log(4*sqrt(x))*1/log(2)

$$frac{frac{1}{2} log{left (1 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 sqrt{x} right )} + 2 log{left (2 log{left (2 x right )} right )} < 1$$

Дано неравенство:
$$frac{frac{1}{2} log{left (1 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 sqrt{x} right )} + 2 log{left (2 log{left (2 x right )} right )} < 1$$
Чтобы решить это нер-во – надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$frac{frac{1}{2} log{left (1 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 sqrt{x} right )} + 2 log{left (2 log{left (2 x right )} right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$frac{frac{1}{2} log{left (1 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 sqrt{x} right )} + 2 log{left (2 log{left (2 x right )} right )} = 1$$
преобразуем
$$2 log{left (log{left (x right )} + log{left (2 right )} right )} – 1 + log{left (4 right )} = 0$$
$$2 log{left (log{left (x right )} + log{left (2 right )} right )} – 1 + 2 log{left (2 right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = log{left (log{left (x right )} + log{left (2 right )} right )}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

-1 + 2*w + 2*log2 = 0

Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$2 w + 2 log{left (2 right )} = 1$$
Разделим обе части ур-ния на (2*w + 2*log(2))/w

w = 1 / ((2*w + 2*log(2))/w)

Получим ответ: w = 1/2 – log(2)
делаем обратную замену
$$log{left (log{left (x right )} + log{left (2 right )} right )} = w$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}$$
$$x_{1} = frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} – frac{1}{10}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}$$
=
$$- frac{1}{10} + frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}$$
подставляем в выражение
$$frac{frac{1}{2} log{left (1 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 sqrt{x} right )} + 2 log{left (2 log{left (2 x right )} right )} < 1$$
$$frac{frac{1}{2} log{left (1 right )}}{log{left (2 right )}} log{left (4 sqrt{- frac{1}{10} + frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}} right )} + 2 log{left (2 log{left (2 left(- frac{1}{10} + frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}right) right )} right )} < 1$$

/ / 1/2
| | e ||
| | —-||
| | 1 2 || < 1 2*log|2*log|- - + e || 5 //

значит решение неравенства будет при:
$$x < frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}$$

_____
——-ο——-
x1

/ 1/2
| e |
| —-|
| 2 |
| e |
And|0 <= x, x < -----| 2 /

$$0 leq x wedge x < frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}$$

1/2
e
—-
2
e
[0, —–)
2

$$x in left[0, frac{e^{frac{e^{frac{1}{2}}}{2}}}{2}right)$$