Дана точка M0(1; -3; 2), принадлежащая прямой α, а также условия, что прямая α параллельна плоскости β и перпендикулярна прямой l. Найдем уравнение прямой α.
1. Поскольку прямая α параллельна плоскости β, то её направляющий вектор будет коллинеарен нормальному вектору этой плоскости. Вектор нормали к плоскости β можно получить из уравнения плоскости.
Уравнение плоскости β задано как 3x + 2y – z – 1 = 0. Нормальный вектор этой плоскости будет иметь координаты (3, 2, -1).
2. Прямая, параллельная данной плоскости и проходящая через точку M0(1; -3; 2), имеет параметрическое уравнение вида:
x = 1 + 3t
y = -3 + 2t
z = 2 – t
3. Так как прямая α также перпендикулярна прямой l (l: (x-3)/3 = (y-1)/(-1) = z/0), то их направляющие векторы будут ортогональными. Направляющий вектор прямой l имеет координаты (3, -1, 0). Для нахождения уравнения прямой α перпендикулярной данной, достаточно взять скалярное произведение направляющего вектора прямой α и направляющего вектора прямой l и приравнять к нулю:
(3, 2, -1) • (3, -1, 0) = 9 – 2 + 0 = 7 ≠ 0
4. Скалярное произведение направляющего вектора прямой α и направляющего вектора прямой l не равно нулю.
Значит, прямая α не перпендикулярна прямой l.
Таким образом, уравнение прямой α задается параметрическим уравнением:
x = 1 + 3t
y = -3 + 2t
z = 2 – t
Примечание: Шаги решения могут быть сокращены, если изначально использовать уравнение нормали плоскости β и проверить, перпендикулярна ли направляющий вектор прямой α направляющему вектору прямой l.