a) Чтобы окружность касалась прямой ВС, её радиус должен быть равен расстоянию от центра окружности до прямой ВС. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Заметим, что он подобен треугольнику AZC по двум углам, значит, соответствующие стороны таких треугольников пропорциональны. Используя это свойство, найдем отношение длин сторон треугольников АВС и АZС:
AB/AZ = BC/CZ
10/r = BC/AC
BC = (10*AC)/AZ
Мы знаем, что sin(ZAC) = BC/AC, а значения угла ZAC (30 градусов) и гипотенузы AZ (10) известны, поэтому мы можем найти BC с помощью переменной AC:
sin(30°) = BC/AC
0.5 = BC/AC
BC = 0.5*AC
Подставим это в выражение для BC выше:
0.5*AC = (10*AC)/AZ
0.5 = 10/AZ
AZ = 20
Таким образом, радиус окружности должен быть равен 20.
б) Чтобы окружность не имела с прямой ВС общих точек, её радиус должен быть меньше расстояния от центра окружности до прямой ВС. В предыдущем решении мы установили, что это расстояние равно 20. Значит, для отсутствия общих точек радиус окружности должен быть меньше 20.
в) Чтобы окружность имела с прямой ВС две общие точки, её радиус должен быть больше расстояния от центра окружности до прямой ВС, но меньше суммы расстояний от центра окружности до двух перпендикуляров на прямую ВС из точек касания окружности с прямой ВС. В предыдущем решении мы установили, что первое расстояние равно 20. Заметим, что перпендикуляры на прямую ВС из точек касания окружности с прямой ВС будут проходить через середины дуг над прямой ВС между точками касания, поэтому они равны и равны половине первого расстояния от центра окружности до прямой ВС. Значит, радиус окружности должен быть больше 20 и меньше 30.