1. Отнимаем координаты точки А от координат точки В:
AB = (x2 – x1, y2 – y1) = (-3 – 2, 4 – 5) = (-5, -1)
2. Для нахождения координат точки М середины отрезка АС, мы находим среднее арифметическое от соответствующих координат точек А и С:
M = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((-4 + 6) / 2, (3 – 5) / 2) = (1, -1)
3. Вычисляем длину отрезка MD, используя формулу расстояния между двумя точками:
MD = √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2) = √((-3 – (-3))^2 + (6 – (-4))^2) = √(0^2 + 10^2) = √(100) = 10
4. Длина вектора а равна его евклидовой норме, которая вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат:
|a| = √((-12)^2 + 5^2) = √(144 + 25) = √(169) = 13
5. Для доказательства параллелограммности фигуры ABCD нужно проверить, что противоположные стороны параллельны. Мы можем использовать условие, что для параллелограмма смежные стороны равны и параллельны.
AC = sqrt((-13 – 5)^2 + (6 – (-2))^2) = sqrt(18^2 + 8^2) = sqrt(324 + 64) = sqrt(388)
BD = sqrt((-1 – (-7))^2 + (9 – (-5))^2) = sqrt(6^2 + 14^2) = sqrt(36 + 196) = sqrt(232)
AB = sqrt((-13 – (-1))^2 + (6 – 9)^2) = sqrt((-12)^2 + (-3)^2) = sqrt(144 + 9) = sqrt(153)
CD = sqrt((5 – (-7))^2 + (-2 – (-5))^2) = sqrt(12^2 + 3^2) = sqrt(144 + 9) = sqrt(153)
Если AC = BD и AB = CD, то фигура ABCD является параллелограммом.
6. a) Используя формулу окружности (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, где (h,k) – координаты центра окружности и r – радиус, совмещаем формулу с данной окружностью. Получаем:
(x + 5)^2 + (y – 1)^2 = 16
Ответ: Центр окружности – (-5,1); Радиус окружности – 4.
b) Чтобы проверить, принадлежит ли данная точка окружности, подставляем координаты точки в уравнение окружности и проверяем равенство:
(-5 + 5)^2 + (-2 – 1)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9. Так как равенство не выполняется, точка (-5, -2) не принадлежит окружности.